Przestrzeń T4

Z Wikipedii

Przestrzeń normalna i przestrzeń $T 4$ to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania.

Spis treści

1 Definicje
2 Dyskusja nazewnictwa
3 Przykłady
4 Własności
5 Bibliografia
6 Zobacz też

[edytuj] Definicje

Powiemy że w przestrzeni topologicznej $X$ rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte jeśli

dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych $E,F\subseteq X$ (czyli $E\cap F=\emptyset$ ) można znaleźć rozłączne zbiory otwarte $U,V\subseteq X$ takie że $E\subseteq U$ i $F\subseteq V$ :

Zbiory domknięte E i F, przedstawione jako zaczernione obszary są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte U i V, przedstawione tutaj jako większe okręgi

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się że zbiory domknięte E,F są rozdzielone przez otoczenia otwarte U,V.

Przestrzeń topologiczna $X$ jest przestrzenią normalną (albo $T 4$ ) wtedy i tylko wtedy gdy $X$ jest przestrzenią T₁ w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte.

[edytuj] Dyskusja nazewnictwa

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń normalna i przestrzeń $T 4$ w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii^[1] definiuje

przestrzeń normalną jako przestrzeń topologiczną w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte i nie wprowadza on pojęcia przestrzeni $T 4$ .

Z drugiej strony Engelking definiuje^[2]

bycie przestrzenią normalną i bycie przestrzenią $T 4$ jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni normalnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

[edytuj] Przykłady

Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami normalnymi: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
Każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.
Każda regularna przestrzeń Lindelöfa jest normalna.
Płaszczyzna Niemyckiego jest przykładem przestrzeni Tichonowa która nie jest normalna.
Jeśli CH jest prawdziwa i $p\in \beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N}$ , to $(\beta {\mathbb N}\setminus {\mathbb N})\setminus\{p\}$ nie jest przestrzenią normalną (ale jest całkowicie regularna). W tym przykładzie $\beta {\mathbb N}$ jest uzwarceniem Čecha-Stone'a dyskretnej przestrzeni ${\mathbb N}$ liczb naturalnych.

[edytuj] Własności

Każda przestrzeń normalna jest przestrzenią Tichonowa. Zachodzi nawet mocniejszy lemat Urysohna:

Jeśli

X

jest przestrzenią normalną i $E,F\subseteq X$ są jej rozłącznymi podzbiorami domkniętymi, to istnieje funkcja ciągła $F:X\longrightarrow [0,1]$ taka że

f (x) = 0

dla $x\in E$ oraz

f (x) = 1

dla $x\in F$ .

Zachodzi nawet następujące silniejsze Twierdzenie Tietzego-Urysohna:

Jeśli

X

jest przestrzenią normalną, $F\subseteq X$ jest jej podzbiorem domkniętym i $f:F\longrightarrow{\mathbb R}$ jest funkcją ciągłą, to istnieje funkcja ciągła $g:X\longrightarrow {\mathbb R}$ przedłużająca

f

(tzn taka że

g (x) = f (x)

dla wszystkich $x\in F$ ).

Żadna ośrodkowa przestrzeń normalna nie zawiera domkniętej dyskretnej podprzestrzeni mocy continuum.
Domknięte podprzestrzenie przestrzeni normalnej są normalne. Obraz przestrzeni normalnej przez (ciągłe) odwzorowanie domknięte jest przestrzenią normalną.
Podprzestrzeń przestrzeni normalnej nie musi być normalna (czyli własność być przestrzenią normalną nie jest własnością dziedziczną). Także iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni $T 4$ nie musi być przestrzenią $T 4$ .
Twierdzenie Borsuka o przedłużaniu homotopii.

[edytuj] Bibliografia

↑ Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 121.
↑ Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 40. ISBN 3-88538-006-4