Algorytm Floyda-Warshalla

Z Wikipedii

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia graf podgraf cykl klika stopień wierzchołka dopełnienie grafu obwód grafu pokrycie wierzchołkowe liczba chromatyczna indeks chromatyczny izomorfizm grafów homeomorfizm grafów więcej... Wybrane klasy grafów graf pełny graf spójny drzewo graf dwudzielny graf regularny graf eulerowski graf hamiltonowski graf planarny więcej... Algorytmy grafowe A* Bellmana-Forda Breadth-first search Depth-first search Dijkstry Fleury'ego Floyda-Warshalla Johnsona Kruskala Prima przeszukiwanie grafu najbliższego sąsiada Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe problem komiwojażera problem chińskiego listonosza problem kojarzenia małżeństw Inne zagadnienia kod Graya diagram Hassego

edytuj ten szablon

Algorytm Floyda-Warshalla służy do znajdowania najkrótszych ścieżek pomiędzy wszystkimi parami wierzchołków w grafie ważonym.

[edytuj] Opis algorytmu

Algorytm Floyda-Warshalla korzysta z tego, że jeśli najkrótsza ścieżka pomiędzy wierzchołkami v₁ i v₂ prowadzi przez wierzchołek u, to jest ona połączeniem najkrótszych ścieżek pomiędzy wierzchołkami v₁ i u oraz u i v₂. Na początku działania algorytmu inicjowana jest tablica długości najkrótszych ścieżek, tak że dla każdej pary wierzchołków (v₁,v₂) ich odległość wynosi:

Algorytm jest dynamiczny i w kolejnych krokach włącza do swoich obliczeń ścieżki przechodzące przez kolejne wierzchołki. Tak więc w k-tym kroku algorytm zajmie się sprawdzaniem dla każdej pary wierzchołków, czy nie da się skrócić (lub utworzyć) ścieżki pomiędzy nimi przechodzącej przez wierzchołek numer k (kolejność wierzchołków jest obojętna, ważne tylko, żeby nie zmieniała się w trakcie działania programu). Po wykonaniu |V| takich kroków długości najkrótszych ścieżek są już wyliczone.

[edytuj] Wydajność algorytmu

• Złożoność obliczeniowa:
• Złożoność pamięciowa:

[edytuj] Zapis w pseudokodzie

Dla grafu G i funkcji wagowej w otrzymamy tablicę d[v₁][v₂] odległości pomiędzy wierzchołkami v₁ i v₂.

Floyd-Warshall(G,w)

dla każdego wierzchołka v1 w V[G] wykonaj
  dla każdego wierzchołka v2 w V[G] wykonaj
    d[v1][v2] = nieskończone
    poprzednik[v1][v2] = niezdefiniowane
  d[v1][v1] = 0
dla każdej krawędzi (v1,v2) w E[G]
  d[v1][v2] = w(v1,v2)
  poprzednik[v1][v2] = v1
dla każdego wierzchołka u w V[G] wykonaj
  dla każdego wierzchołka v1 w V[G] wykonaj
    dla każdego wierzchołka v2 w V[G] wykonaj
      jeżeli d[v1][v2] > d[v1][u] + d[u][v2] to
        d[v1][v2] = d[v1][u] + d[u][v2]
        poprzednik[v1][v2] = poprzednik[u][v2]

Zobacz też: problem najkrótszej ścieżki, algorytm Johnsona