Algorytm Sutherlanda-Hodgmana

Z Wikipedii

Algorytm Sutherlanda-Hodgmana jest analitycznym algorytmem obcinania, który znajduje część wspólną dwóch wielokątów, przy czym wielokąt obcinający musi być wypukły (wielokąt obcinany może być wypukły lub niewypukły); wielokąty są dane jako ciągi wierzchołków.

Chociaż algorytm najczęściej znajduje zastosowanie właśnie dla przypadków dwuwymiarowych, to łatwo uogólnić go na większą liczbę wymiarów, i np. w przestrzeni trójwymiarowej można znaleźć część wspólną dowolnego obiektu z wielościanem. Tutaj zostanie opisany algorytm dla dwóch wymiarów.

Algorytm jest iteracyjny i wykorzystuje strategię dziel i zwyciężaj, tzn. dzieli problem na wiele elementarnych, łatwych do rozwiązania podproblemów. Wykorzystuje fakt, iż wielokąt wypukły można przedstawić jako część wspólną półpłaszczyzn wyznaczanych przez boki tego wielokąta. Znalezienie części wspólnej wielokąta i półpłaszczyzny jest bardzo proste.

W jednym kroku algorytmu znajdywana jest część wspólna wielokąta oraz półpłaszczyzny, a otrzymany w ten sposób wielokąt jest przetwarzany w kroku kolejnym:

1. W = obcinany wielokąt
2. W_o = wypukły wielokąt obcinający
3. dla wszystkich krawędzi W_o wykonuj:
   • L := wyznacz prostą na której leży krawędź
   • W := wyznacz część wspólną wielokąta W i półpłaszczyzny zdefiniowanej przez prostą L

Po przejrzeniu wszystkich wierzchołków otrzymuje się ciąg wierzchołków wielokąta będącego częścią wspólną W i półpłaszczyzny. Niestety może zdarzyć się tak, że wielokąt zostanie rozdzielony na dwa lub więcej wielokątów i wówczas pojawiają się dodatkowe krawędzie leżące na prostej L. Można je jednak wyeliminować po zakończeniu całego algorytmu.

Pewnym problemem jest określenie po której stronie prostej L znajduje się wnętrze wielokąta obcinającego W_o. Rozwiązanie jest następujące: należy przeglądać wierzchołki W_o kolejno, tzn. i na ich postawie wyznaczać równanie prostej, np. w postaci parametrycznej: . Wówczas jeśli wierzchołki są podawane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to wektory normalne wszystkich prostych wskazują wnętrze.

[edytuj] Część wspólna wielokąta i półpłaszczyzny

Najważniejszym elementem algorytmu jest wyznaczanie części wspólnej wielokąta W i półpłaszczyzny. Przeglądane są kolejne wierzchołki w sposób , w jednej iteracji analizowana jest tylko jedna krawędź; oznaczmy pierwszy wierzchołek v_i przez S, drugi v_j przez N:

1. Jeśli obydwa wierzchołki leżą wewnątrz W_o, wówczas zapamiętywany jest tylko wierzchołek N.
   
2. Jeśli obydwa wierzchołki leżą na zewnątrz, wówczas żaden wierzchołek nie jest zapamiętywany.
   
3. W przeciwnym razie krawędź W przecina prostą L i należy policzyć punkt przecięcia (ozn. P) odcinka SN z prostą:
   • jeśli S leży wewnątrz a N na zewnątrz, to zapamiętywany jest tylko punkt przecięcia P;
     
   • Jeśli jest odwrotnie (N wewnątrz, S na zewnątrz) to zapamiętywane są dwa punkty: P i N (w tej kolejności).