Grupa permutacji

Z Wikipedii

Grupa permutacji zbioru X – grupa wszystkich bijekcji zbioru X z działaniem składania jako mnożeniem i identycznością jako elementem neutralnym. Jest ona także nazywana grupą symetryczną.

Niektórzy autorzy używają nazwy grupa permutacji na określenie dowolnej podgrupy grupy wszystkich permutacji danego zbioru.

Spis treści 1 Oznaczenia 2 Przykłady 3 Zastosowania 4 Przypisy 5 Zobacz też

[edytuj] Oznaczenia

W literaturze matematycznej istnieje szereg różnych systemów oznaczeń używanych w kontekscie grup permutacji.

Gleichgewicht^[1] wprowadza symbol S(X) na oznaczenie grupy wszystkich permutacji zbioru X. Gdy , to zamiast S(X) pisze on S_n. Ten ostatni symbol jest także używany przez Langa^[2] oraz Browkina ^[3] Natomiast Komorowski^[4] używa oznaczeń Bij(X,X), Π(n) na S(X), S_n odpowiednio.

Wśród innych oznaczeń spotyka się również , Σ_n oraz Sym(X). Ostatni rodzaj oznaczeń jest używany szczególnie w odniesieniu do zbiorów nieskończonych (i wtedy zwykle używa się nazwy grupa symetryczna').

[edytuj] Przykłady

Gdy X = {0,1}, mamy tylko dwie permutacje zbioru X: (identycznościowa) oraz (transpozycja). Jeśli X = {0,1,2}, to mamy już 6 permutacji.

[edytuj] Zastosowania

• Grupy permutacji okazały się szczególnie pomocne przy badaniu rozwiązywalności równań algebraicznych.
• Dla każdej liczby naturalnej n, rząd (liczba elementów) grupy S_n jest równy n!.
• Dla n > 2 grupa S_n nie jest przemienna, a dla n > 4 nie jest rozwiązalna.
• Zachodzi tzw. twierdzenie Cayleya: każdą grupę można utożsamiać z podgrupą pewnej grupy permutacji.

Przypisy

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• permutacja,