Twierdzenie Cayleya

Z Wikipedii

Spis treści

1 Twierdzenie
2 Dowód
3 Interpretacja
4 Bibliografia
5 Zobacz też

Twierdzenie Cayleya – twierdzenie teorii grup autorstwa Arthura Cayleya pozwalające na rozpatrywanie dowolnej grupy jako podgrupy grupy permutacji.

[edytuj] Twierdzenie

Każda grupa $G$ jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy $Σ G$ (gdzie $Σ G$ oznacza grupę permutacji zbioru $G$ ). W szczególności, każda grupa $G$ rzędu $n$ jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy $Σ n$ .

[edytuj] Dowód

Dla dowolnej grupy $(G, \cdot)$ i dowolnego elementu $g \in G$ , niech odwzorowanie $\psi_g\colon G \to G$ będzie zadane wzorem $\psi_g(x) = g\cdot x$ . Funkcja $ψ g$ jest bijekcją zbioru elementów. Należy udowodnić, że przekształcenie $\psi\colon G \to \Sigma_G,\; \psi(g) = \psi_g$ jest zanurzeniem (monomorfizmem grup):

$\begin{align} \psi(g_1 g_2)(x) & = \psi_{g_1 g_2}(x) = (g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = \psi_{g_1}(\psi_{g_2}(x)) \\ & = (\psi_{g_1}\circ \psi_{g_2})(x) = \left(\psi(g_1) \circ \psi(g_2)\right)(x) \end{align}$ ,

zatem $\psi(g_1\cdot g_2) = \psi(g_1)\circ \psi(g_2)$ .

[edytuj] Interpretacja

Pierwsza część twierdzenia Cayleya mówi po prostu, że dana grupa jest jedną z wielu grup, które mogą powstać z elementów tej grupy i będą się one różnić od rozważanej grupy jedynie uporządkowaniem. Druga część stwierdza oczywisty fakt, iż jeżeli grupa ma $n$ elementów, to jest ona jednym z możliwych uporządkowań dowolnej grupy $n$ -elementowej. Wszystkich możliwych uporządkowań elementów grupy jest dokładnie tyle, ile bijekcji tego zbioru: dla grupy rzędu $n$ jest ich $n!$ .

[edytuj] Bibliografia

A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Teoria grup • Twierdzenia matematyczne

We provide Linux to the World

Twierdzenie Cayleya

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Dowód

[edytuj] Interpretacja

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach