Hiperbola (matematyka)

Z Wikipedii

Hiperbola - krzywa stożkowa, będąca zbiorem punktów takich, że wartość bezwzględna różnicy odległości tych punktów od dwóch punktów, nazywanych ogniskami hiperboli, jest stała.

Jeżeli ogniska hiperboli mają współrzędne ( − c,0) i (c,0) to można ją opisać równaniem:

.

gdzie a jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami hiperboli, natomiast b jest połową odległości pomiędzy wierzchołkami urojonymi. Zachodzi również związek: b² = c² − a².

Jeżeli a = b to hiperbolę nazywamy równoosiową.

Mimośrodem hiperboli nazywamy stosunek odległości pomiędzy ogniskami a wierzchołkami rzeczywistymi . Od mimośrodu zależy kształt hiperboli.

Kierownicami hiperboli nazywamy proste wyrażone równaniami .

Obierzmy na hiperboli dowolny punkt P = (x,y), przez r₁ oznaczmy odległość pomiędzy tym punktem a lewym ogniskiem, natomiast przez r₂ odległość pomiędzy punktem P a prawym ogniskiem - proste przechodzące przez te punkty nazywamy ogniskowymi promieniami wodzącymi. Wtedy mają miejsce następujące związki:

• dla prawej gałęzi: r₁ = a + ex r₂ = − a + ex
• dla lewej gałęzi: r₁ = − a − ex r₂ = a − ex

Niech d₁ będzie odległością ustalonego punktu P od lewej kierownicy, a d₂, odpowiednio, od prawej. Wówczas:

.

Hiperbolę o równianiu

nazywamy hiperbolą sprzężoną (do wyjściowej hiperboli). Hiperbola i hiperbola do niej sprzężona mają wspólne asymptoty o równaniach

Odcinek, który przechodzi przez środek hiperboli, a jego końce na niej leżą nazywamy średnicą hiperboli.

Styczna w punkcie Q = (p,q) hiperboli spełnia równanie

.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• radionawigacja,
• twierdzenie Pascala.