Wartość bezwzględna

Z Wikipedii

Wartość bezwzględna (moduł^[1]) – wartość liczby rzeczywistej bez uwzględnienia jej znaku. Odległość liczby od zera. Przykładowo $3$ jest wartością bezwzględną zarówno liczby rzeczywistej $3$ jak i $- 3$ . W programowaniu funkcję obliczającą tą wartość zwykle oznacza się abs(x).

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej można uogólnić na wiele innych zbiorów. Uogólnienia takie zwane są normami. I tak norma jest także definiowana dla liczb zespolonych, kwaternionów, wielu pierścieni uporządkowanych, ciał, czy przestrzeni liniowych.

Wartość bezwzględna jest także powiązana z pojęciem odległości (metryki).

[edytuj] Liczby rzeczywiste

Wykres funkcji

y = | x |

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej $a$ , oznaczana $| a |$ ^[2] jest definiowana wg wzoru

$|a| = \begin{cases} a & \mbox {dla } a \geqslant 0 \\ -a & \mbox{dla } a<0 \end{cases}$

W powyższej definicji widać, że wartość bezwzględna jest zawsze dodatnia lub równa zeru, ale nigdy nie jest ujemna.

Z geometrycznego punktu widzenia wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest odległością tej liczby od zera na osi liczbowej. Ogólniej, wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb jest odległością między nimi. Pojęcie abstrakcyjnej funkcji odległości w matematyce może być uważane za uogólnienie wartości bezwzględnej różnicy (zobacz sekcja Odległość).

[edytuj] Własności

$\|a\| = \sqrt{a^2}$	równanie to używane jest czasami jako równoważna definicja wartości bezwzględnej
$\|a\| \geqslant 0$	nieujemność
$\|a\| = 0 \iff a = 0$
$\| a b \| = \| a \| \| b \|$	multiplikatywność
$\|a+b\| \leqslant \|a\| + \|b\|$	podaddytywność
$\| - a \| = \| a \|$	symetria
$\|a - b\| = 0 \iff a = b$	prawo identyczności
$\|a - b\| \leqslant \|a - c\| + \|c - b\|$	nierówność trójkąta; równoważna podaddytywności
$\|\tfrac{a}{b}\| = \tfrac{\|a\|}{\|b\|} \mbox{ (dla } b \ne 0)$	zachowanie dzielenia; równoważne multiplikatywności
$\|a-b\| \geqslant \|\|a\| - \|b\|\|$	równoważne podaddytywności
$\|a\| \leqslant b \iff -b \leqslant a \leqslant b$
$\|a\| \geqslant b \iff a \leqslant -b \mbox{ lub } b \leqslant a$

Dwa ostatnie wzory są często używane do rozwiązywania nierówności, np.:

$|x-3| \leqslant 9 \iff -9 \leqslant x-3 \leqslant 9 \iff -6 \leqslant x \leqslant 12$ .

[edytuj] Liczby zespolone

Uogólnieniem pojęcia wartości bezwzględnej na liczby zespolone jest moduł określany wzorem:

$|a+b\cdot i|=\sqrt{a^2+b^2}\quad a,b \in \mathbb R$

interpretowany geometrycznie tak jak poprzednio – jako odległość danej liczby od zera.

Uogólnieniem pojęcia wartości bezwzględnej liczby dla wektorów jest norma wektora.

Przypisy

↑ wprowadzenie terminu modułu przypisuje się Jean-Robertowi Argandowi w 1806 roku, zobacz: Nahin, O'Connor and Robertson oraz functions.Wolfram.com
↑ functions.Wolfram.com przypisuje wprowadzenie oznaczenia $| x |$ Karlowi Weierstrassowi w 1841 roku

[edytuj] Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Wartość bezwzględna liczby

Kategorie: Arytmetyka • Funkcje ciągłe

$\|a\| = \sqrt{a^2}$	równanie to używane jest czasami jako równoważna definicja wartości bezwzględnej
$\|a\| \geqslant 0$	nieujemność
$\|a\| = 0 \iff a = 0$
$\| a b \| = \| a \| \| b \|$	multiplikatywność
$\|a+b\| \leqslant \|a\| + \|b\|$	podaddytywność
$\| - a \| = \| a \|$	symetria
$\|a - b\| = 0 \iff a = b$	prawo identyczności
$\|a - b\| \leqslant \|a - c\| + \|c - b\|$	nierówność trójkąta; równoważna podaddytywności
$\|\tfrac{a}{b}\| = \tfrac{\|a\|}{\|b\|} \mbox{ (dla } b \ne 0)$	zachowanie dzielenia; równoważne multiplikatywności
$\|a-b\| \geqslant \|\|a\| - \|b\|\|$	równoważne podaddytywności
$\|a\| \leqslant b \iff -b \leqslant a \leqslant b$
$\|a\| \geqslant b \iff a \leqslant -b \mbox{ lub } b \leqslant a$

We provide Linux to the World

Wartość bezwzględna

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Liczby rzeczywiste

[edytuj] Własności

[edytuj] Liczby zespolone

Przypisy

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach