Ideał główny

Z Wikipedii

Ideał główny to ideał generowany przez zbiór jednoelementowy pierścienia.

Spis treści 1 Definicja 2 Własności 3 Przykłady 4 Bibliografia 5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Jeżeli a jest elementem pierścienia R, to:

• prawostronny ideał główny ,
• lewostronny ideał główny ,
• dwustronny ideał główny .

Jeśli R jest pierścieniem przemiennym to powyższe definicje są równoważne. W takim przypadku ideał generowany przez element a pierścienia R oznacza się (a).

[edytuj] Własności

Niech R będzie ciałem:

1. , gdzie R* oznacza zbiór elementów odwracalnych pierścienia R.
2. , gdzie oznacza relację stowarzyszenia tzn.: a dzieli b oraz b dzieli a.

Uwaga: Mówimy, że R jest pierścieniem ideałów głównych wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ideały w R są główne.

[edytuj] Przykłady

• Każdy ideał w pierścieniu liczb całkowitych jest ideałem głównym, na przykład:

wielokrotności liczby naturalnej n.

• Jeżeli K jest ciałem, to każdy ideał pierścienia wielomianów K[x] jest główny.

[edytuj] Bibliografia

Jerzy Browkin, Teoria ciał, PWN, Warszawa 1977.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• teoria pierścieni,
• ideał (teoria pierścieni).