Iloczyn Wallisa

Z Wikipedii

W matematyce iloczyn Wallisa dla π, zapisany w 1655 przez Johna Wallisa ma postać

$\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

[edytuj] Dowód

Na początku, zauważmy, że pierwiastki $\frac{\sin x}{x}$ są postaci $k\pi, k\in\mathbb{Z}$ . Postępując analogicznie jak w teorii wielomianów, przedstawmy sinus jako nieskończony iloczyn czynników dwumiennych, określonych ich pierwiastkami:

$\frac{\sin(x)}{x} = k \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots$ , gdzie

k

jest pewną stałą.

Aby znaleźć granicę $\left.k\right.$ , bierzemy granicę po obu stronach:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \left( k \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots \right) = k$

Korzystając z faktu, że:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$

otrzymujemy $\left.k=1\right.$ . Następnie otrzymujemy wzór Eulera-Wallisa dla funkcji sinus:

$\frac{\sin(x)}{x} = \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 - \frac{x}{3\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{3\pi}\right) \cdots$

$\frac{\sin(x)}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right) \cdots$

Podstawiamy $x=\frac{\pi}{2}$

$\frac{1}{\frac{\pi}{2}} =\frac{2}{\pi} = \left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{4^2}\right)\left(1 - \frac{1}{6^2}\right) \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} (1 - \frac{1}{4n^2})$

$\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} (\frac{4n^2}{4n^2 - 1})$

$= \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots$

Q.E.D.

[edytuj] Związek ze wzorem Stirlinga

Według wzóru Stirlinga

$n! = \sqrt {2\pi n} {\left(\frac{n}{e}\right)}^n \left( 1 + O\left(\frac{1}{n}\right) \right)$

jako n → ∞. Rozważmy teraz skończone przybliżenia iloczynu Wallisa otrzymanych poprzez branie k pierwszych wyrazów iloczynu:

$p_k = \prod_{n=1}^{k} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} \ .$

p_k może być zapisane jako

$p_k ={1\over{2k+1}}\prod_{n=1}^{k} \frac{(2n)^4 }{(2n (2n-1))^2}={1\over{2k+1}}\cdot {{4^{2k}\,k!^4}\over {(2k\,!)^2}} \ .$

Podstawiając w równaniu przybliżenie Stirlinga zarówno dla k! jak i dla 2k! można, po krótkich obliczeniach, zauważyć, że p_k zbiega do π/2 przy k → ∞.