Matematyka

Z Wikipedii

Matematyka (gr. mathēmatik z máthēma – poznanie, umiejętność) – nauka skupiona na rozumowaniu dedukcyjnym, czyli dostarczająca narzędzi do badania wniosków z przyjętych założeń^[1]. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.

Wiele dziedzin nauki i technologii, po uzyskaniu pewnego stopnia dojrzałości, zaczyna definiować swoje pojęcia z dostatecznie dużą precyzją, aby można było stosować do nich metody matematyczne, co często zapoczątkowuje kolejny dział matematyki teoretycznej lub stosowanej. Tak stało się np. z mechaniką klasyczną, mechaniką statystyczną, ekonomią (ekonometria), lingwistyką (lingwistyka matematyczna), teorią gier, a nawet niektórymi działami politologii (teoria głosowań). Leonardo da Vinci stwierdził "Żadne ludzkie badania nie mogą być nazywane prawdziwą nauką, jeśli nie mogą być zademonstrowane matematycznie."^[2]

Matematyka teoretyczna (nazywana czasami matematyką czystą) jest często rozwijana bez związku z konkretnymi zastosowaniami. W tej odmianie jest ona przez niektórych matematyków uważana za formę sztuki^[3]. Jedak niektóre działy matematyki teoretycznej znalazły swoje praktyczne zastosowanie, kiedy okazało się, że potrzebuje ich nowoczesna fizyka lub informatyka. Szkolne rozumienie matematyki, jako nauki wyłącznie o liczbach i pojęciach geometrycznych, zdezaktualizowało się już w XIX wieku wraz z postępami algebry i teorii mnogości. Matematyka wchłonęła także logikę.

[edytuj] Wizje matematyki

Paul Dirac stwierdził "Matematyka jest narzędziem stworzonym specjalnie do wszelkich abstrakcyjnych koncepcji, i nie ma ograniczeń dla jej potęgi w tym zakresie" ^[4]
Benjamin Peirce nazwał ją "nauką, która wyciąga właściwe wnioski"^[5]
Jules Henri Poincaré określił matematykę jako "sztukę nadawania tych samych nazw różnym rzeczom"^[6]. Oddaje to jedną z piękniejszych cech matematyki, zdolnej uogólniać właściwości bardzo odległych i wydawałoby się mało ze sobą związanych obiektów.
David Hilbert uznał, że "sztuka uprawiania matematyki zawiera się w znajdowaniu szczególnych przypadków, które zawierają w sobie zalążki uogólnień"^[7]
Poeta William Wordsworth stwierdził: "Matematyka jest niezależnym światem stworzonym przez czystą inteligencję"^[8]. Matematycy budują i badają struktury, które rzeczywiście przypominają niezależny świat zaludniony przez rozmaite abstrakcje.
Z czasem niektóre działy matematyki stały się odrębnymi światami, uprawianymi wyłącznie dla ich piękna, bez jakiegokolwiek związku z rzeczywistością. Henry John Stephen Smith stwierdził wprost "Czysta matematyko, obyś nigdy nie była przez nikogo używana" ^[9]
Z drugiej strony Mikołaj Łobaczewski uznał, że "Nie ma gałęzi matematyki, choćby nie wiem jak abstrakcyjnej, która pewnego dnia nie zostałaby zastosowana do zjawisk realnego świata"^[10] Wyprzedził tą wypowiedzią o pół wieku postępy fizyki, która stosuje w praktyce działy matematyki, przed jej epoką uważane za domenę czystej myśli, niezbrukanej zastosowaniami.
Immanuel Kant stwierdził "Matematyka jest najjaskrawszym przykładem, jak czysty rozum może skutecznie rozszerzać swoją domenę bez jakiejkolwiek pomocy doświadczenia"^[11]

[edytuj] Struktura matematyki

Matematyka jest sztuką wyciągania wniosków z założeń. Jeśli rozumowanie matematyczne jest poprawne, to przy poprawnych założeniach mamy pewność otrzymania poprawnych wniosków. Jeśli w rozumowaniu jest jakakolwiek nieścisłość, takiej gwarancji nie ma. Stąd wynika olbrzymi nacisk, kładziony w matematyce na ścisłość rozumowania. W utrzymaniu tej ścisłości pomaga omawiany dalej formalizm logiczny oraz zapis matematyczny.

Chociaż najważniejsza w matematyce jest wyobraźnia, głębia, intuicja i zrozumienie, to matematyka nie może sensownie istnieć bez aparatu formalnego. Formalizm, choćby w praktyce tylko przybliżony, jest metodą trwałego, obiektywnego i spolegliwego porozumiewania się matematyków. Można używać do omawiania pojęć matematycznych zwykłego języka naturalnego, jednak ma to sens tylko tak długo, jak długo da się taki opis jednoznacznie przetłumaczyć na formalizm.

Formalna struktura matematyki wygląda następująco:

Wybierany jest tzw. alfabet złożony ze skończonej liczby rozróżnialnych znaków (np. liter, cyfr, znaków matematycznych, itp.).
Tworzony jest język formalny, na który składają się słowa złożone ze znaków alfabetu.
Słowa tworzą wyrażenia, w tym zdania. Praktyczne teorie powinny pozwalać na mechaniczne (algorytmiczne) sprawdzanie, które ciągi symboli tworzą poprawnie zbudowane zdania oraz mieć jednoznaczną, dającą się algorytmicznie rozpoznać składnię^[12].
Formalne języki służą za podstawę teoriom formalnym (wciąż ogólniejszym od matematycznych). Teoria formalna oprócz języka wprowadza pojęcie twierdzenia (specjalny rodzaj zdań poprawnie zbudowanych) i reguł dowodzenia.
Jedną z teorii formalnych jest logika matematyczna. Te z formalnych teorii, które zawierają logikę matematyczną, nazywane są teoriami matematycznymi. Większość teorii matematycznych zawiera też teorię mnogości. Wraz z logiką matematyczną (klasyczną) przychodzi formalne pojęcie prawdy, które można zdefiniować na wiele sposobów.
Teorią matematyczną nazywamy formalnie dowolny niesprzeczny zbiór zdań. W praktyce z symboli języka formalnego wydziela się tzw. pojęcia pierwotne^[13]. Zauważmy, że na tym etapie o pojęciach pierwotnych nic jeszcze nie wiadomo. Przykładowo pojęciami pierwotnymi dwuwymiarowej geometrii euklidesowej są punkt, prosta i relacja "punkt leży na prostej".
Zwykle budowana jest tzw. aksjomatyka, czyli wyróżniany jest zestaw zdań zwanych aksjomatami, mówiących o relacjach między pojęciami pierwotnymi^[14]. Dla geometrii euklidesowej jednym z aksjomatów jest: "Przez każde dwa punkty można przeprowadzić prostą".
Używając reguł wnioskowania, można rozpoczynając od aksjomatów dowodzić rozmaitych twierdzeń danej teorii. Zauważmy, że teoria nie musi (i nie może) w żaden sposób odnosić się do innych cech pojęć pierwotnych niż te, które są wyrażone przez aksjomaty lub z nich wynikają. Bertrand Russell stwierdził w związku z tym dowcipnie: "Matematyka może być zdefiniowana jako dziedzina w której nigdy nie wiemy, o czym mówimy, ani czy to co mówimy jest prawdą"^[15].
Jeśli zdefiniujemy jakieś obiekty w taki sposób, aby podstawione w miejsce pojęć pierwotnych teorii spełniały jej aksjomaty (operacja ta nazywa się interpretacją), to otrzymamy automatycznie wszystkie udowodnione twierdzenia tej teorii dla naszych obiektów. Jeśli pojęcia pierwotne zinterpretujemy w zupełnie inny sposób, ale także spełniający aksjomaty, twierdzenia teorii będą prawdziwe także dla tych nowo zdefiniowanych pojęć. Taki zestaw interpretacji pojęć pierwotnych nazywany jest modelem danej teorii. Modelem płaskiej geometrii euklidesowej jest np. kartezjański układ współrzędnych (ściślej tzw. przestrzeń kartezjańska), gdzie punkt interpretujemy jako parę liczb zwanych współrzędnymi, prostą jako zbiór punktów $(x, y)$ spełniających równanie $(y A - y B)(x - x B) - (x A - x B)(y - y B) = 0$ , a relację "punkt leży na prostej" jako relację przynależności do zbioru.
Do tej pory teorię widzieliśmy z bardzo formalnego punktu widzenia, tzn. przez pryzmat operacji na symbolach matematycznych. Matematycy jednak zwykle nie wyobrażają sobie matematyki w ten sposób. Pracują raczej na zbiorach obiektów i relacjach między nimi. Zbiory obiektów wraz z różnego rodzaju powiązaniami pomiędzy obiektami zwane są często przestrzeniami lub strukturami. Na poziomie formalnym pojęcia te to synonimy pojęcia modelu, jednak nacisk jest tu położony na badanie relacji między pewnymi obiektami a nie na formalne manipulacje symbolami.

Na poziomie formalnym zbiór pojęć pierwotnych jest ustalony. Tak jest tylko w teorii. W praktyce wciąż wprowadza się nowe pojęcia. Nawet istnieją formalne mechanizmy, pozwalające je wprowadzać. Matematycy niewiele wiedzą lub niewiele się przejmują formalnym pedantyzmem, i żywą teorię często rozszerzają (czyli tworzą, formalnie mówiąc, nową teorię). Poprawne (w sensie praktycznym) dowody matematyczne są jednak w odczuciu matematyków sprowadzalne do dowodów formalnych. Z czasem jeśli rozwinie się skomputeryzowana formalizacja matematyki, dowody rzeczywiście będą formalne (krok w tym kierunku uczynił Andrzej Trybulec, twórca systemu komputerowego sprawdzającego dowody formalne; patrz Mizar).

Chociaż działalność matematyczna polega na tworzeniu nowych pojęć matematycznych i dowodzeniu twierdzeń na temat pojęć już istniejących, to taka definicja nie oddałaby wszelakich niuansów uprawiania matematyki. Jak stwierdził Gian Carlo Rota: "Często słyszymy, że matematyka sprowadza się głównie do 'dowodzenia twierdzeń'. Czy praca pisarza sprowadza się głównie do 'pisania zdań'?"^[16]

[edytuj] Główne działy matematyki

Matematyka składa się z dynamicznej symbiozy dziedzin, działów, poddziałów, czy teorii, które przenikają się, przeplatają, zależą jedne od drugich... Powstają wciąż nowe działy, stare obumierają, a czasem znowu wracają do życia^[17]. Matematyka wymyka się klasyfikacji lub zmusza do tworzenia klasyfikacji wciąż na nowo.

Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne prowadzi klasyfikację gałęzi matematyki w których prowadzone są aktywne badania naukowe. Ta klasyfikacja jest uaktualniana co pewien okres czasu aby odzwierciedlić zmiany w zainteresowaniach matematyków, a dzisiaj obowiązująca jej wersja jest określana jako MSC 2000 (Mathematical Subject Classification 2000)^[18]. MSC jest używane przez wiele czasopism matematycznych oraz baz danych w rodzaju Mathematical Reviews. Klasyfikacja ta obejmuje następujące główne gałęzie matematyki, z których każda jest dalej dzielona. Łącznie zawiera ona ponad 5000 szczegółowych dziedzin matematyki i dziedzin z matematyką związanych. Każda dziedzina ma przypisany pięcioznakowy kod.

[edytuj] Logika i podstawy matematyki

Podstawy matematyki definiują język matematyki, sposoby przeprowadzania dowodów matematycznych, metody budowania jej struktur i teorii, oraz określają własności jej podstawowych obiektów, takich jak zbiór. Zabrakło w tym dziale, w klasyfikacji AMS, teorii kategorii, która występuje w klasyfikacji AMS wyłącznie w dziale algebry; patrz ^[19].

03Bxx Logika ogólna
03Cxx Teoria modeli
03Dxx Teoria obliczeń i teoria rekursji
03Exx Teoria mnogości
03Fxx Teoria dowodu, matematyka konstruktywna, metamatematyka
03Gxx Logika algebraiczna
03Hxx Niestandardowe modele

[edytuj] Algebra

Algebra to dział matematyki zajmujący się strukturami algebraicznymi, porządkowymi, relacjami i uogólniający rozmaite własności działań wspólne dla różnych obiektów, na których działania są przeprowadzane. Tradycyjnie, teoria zbiorów uporządkowanych była (już u Cantora) działem teorii mnogości; w szczególności monografia Sierpińskiego, Cardinal and ordinal numbers, w połowie o uporządkowaniach (liniowych), należy do teorii mnogości, a nie do algebry, mimo pewnych algebraicznych akcentów.

05-xx Kombinatoryka i teoria grafów
06-xx Porządki, kraty, algebry Boole'a, uporządkowane struktury algebraiczne
08-xx Ogólne systemy algebraiczne
11-xx Teoria liczb
12-xx Teoria ciał i wielomianów
13-xx Pierścienie i algebry przemienne
14-xx Geometria algebraiczna
15-xx Algebra liniowa i n-liniowa; teoria macierzy
16-xx Pierścienie i algebry łączne
17-xx Niełączne pierścienie i algebry
18-xx Teoria kategorii, algebra homologiczna
19-xx K-teoria
20-xx Teoria grup i jej uogólnienia
22-xx Grupy topologiczne, grupy Liego

[edytuj] Analiza matematyczna

Analiza matematyczna bada pochodne, całki, miary, sumy szeregów, równania różniczkowe i inne pojęcia związane najogólniej mówiąc z przechodzeniem do granicy.

26-xx Funkcje rzeczywiste
28-xx Teoria miary i całkowania
30-xx Funkcje zmiennej zespolonej
31-xx Teoria potencjału
32-xx Funkcje wielu zmiennych zespolonych i przestrzenie analityczne
33-xx Funkcje specjalne
34-xx Równania różniczkowe zwyczajne
35-xx Równania różniczkowe cząstkowe
37-xx Teoria układów dynamicznych i ergodyczności
39-xx Równania różnicowe i równania funkcyjne
40-xx Ciągi, szeregi
41-xx Aproksymacja
42-xx Analiza Fouriera
43-xx Abstrakcyjna analiza harmoniczna
44-xx Transformacje całkowe, rachunek operatorów
45-xx Równania całkowe
46-xx Analiza funkcjonalna
47-xx Teoria operatorów
49-xx Rachunek wariacyjny i optymalizacja

[edytuj] Geometria

Geometria zajmowała się kolejno przestrzeniami euklidesowymi, sferycznymi, afinicznymi i rzutowymi, hiperbolicznymi, ogólniej przestrzeniami symetrycznymi i o ujemnej (lub niedodatniej) krzywiźnie, jeszcze ogólniej rozmaitościami Riemanna i wciąż bardziej ogólnymi rozmaitościami. Ponadto geometria, ale także kombinatoryka, zajmuje się geometriami skończonymi, które poniżej skryte są w dziale geometrii dyskretnej, do której zalicza się także inne tematy geometryczne, nie związane z geometriami skończonymi.

51-xx Geometria
52-xx Geometryczne pojęcie wypukłości, wielotopy, geometria dyskretna
53-xx Geometria różniczkowa

[edytuj] Topologia

Topologia (zwana początkowo "geometrią położenia") jest nauką badającą te właściwości geometryczne, które nie zmieniają się przy przekształceniach takich jak rozciąganie, skręcanie albo obroty. Do własności takich należy na przykład liczba otworów, jakie znajdują się w danej bryle geometrycznej.

54-xx Topologia ogólna
55-xx Topologia algebraiczna, teoria homologii, teoria homotopii
57-xx Rozmaitości topologiczne i kompleksy komórkowe, teoria węzłów
58-xx Analiza globalna, analiza na rozmaitościach

[edytuj] Matematyka dyskretna

Często (choć nie w MSC) wyróżnia się oddzielnie grupę dziedzin, które badają struktury nieciągłe, sprowadzające się do zbiorów przeliczalnych. Do matematyki dyskretnej zalicza się m.in. (wymienione także w odpowiednich miejscach klasyfikacji MSC)

kombinatoryka
kryptografia
logika matematyczna
programowanie liniowe
teoria gier (pewne działy)
teoria grafów
teoria informacji (elementarna jej część)
teoria liczb (po części)
teoria matroidów
teoria węzłów (częściowo)
teoria konfiguracji
geometria skończona
algorytmika
teoria złożoności

[edytuj] Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa

Statystyka zajmuje się wnioskowaniem o całej populacji nieco różniących się obiektów (np. ludzi) na podstawie obserwacji części tej populacji (tzw. próby statystycznej).

60-xx Rachunek prawdopodobieństwa i procesy stochastyczne
62-07 Analiza danych
62-09 Metody graficzne statystyki
62Cxx Teoria decyzji
62D05 Teoria próbkowania
62Exx Rozkłady prawdopodobieństwa
62Fxx Teoria estymacji
62Gxx Statystyka nieparametryczna
62Hxx Analiza danych wielowymiarowych
62Jxx Metody liniowe statystyki
62Kxx Projektowanie eksperymentów
62Lxx Metody sekwencyjne statystyki
62Mxx Wnioskowanie z procesów stochastycznych
62Nxx Analiza przeżycia
62Pxx Zastosowania statystyki

[edytuj] Matematyka stosowana

Matematyka stosowana jest nauką rozwijającą aparat matematyczny na potrzeby innych nauk i techniki.

65-xx Analiza numeryczna
68-xx Informatyka matematyczna, teoria obliczeń, algorytmy, teoria złożoności
70-xx Mechanika cząstek i układów
74-xx Mechanika ciał deformowalnych
76-xx Zastosowania matematyki w mechanice płynów
78-xx Zastosowania matematyki w optyce i elektromagnetyzmie
80-xx Zastosowania matematyki w termodynamice klasycznej
81-xx Mechanika kwantowa
82-xx Mechanika statystyczna, budowa materii
83-xx Teoria względności
85-xx Zastosowania matematyki w astronomii i astrofizyce
86-xx Zastosowania matematyki w geofizyce
90-xx Badania operacyjne, programowanie matematyczne
91-xx Teoria gier, ekonomia, nauki społeczne
92-xx Biomatematyka i matematyka w innych naukach przyrodniczych
93-xx Teoria systemów, teoria sterowania
94-xx Teoria informacji, teoria sygnałów, korekcja błędów, teoria obwodów, zbiory rozmyte
97-xx Edukacja matematyczna

[edytuj] Badania okołomatematyczne

MSC wyróżnia także dziedziny, które zajmują się samą matematyką jako przedmiotem swojego zainteresowania.

00-xx Badania ogólne, filozofia matematyki, rozrywka matematyczna
01-xx Historia matematyki, biografie matematyków

[edytuj] Historia

Zobacz więcej w osobnym artykule: historia matematyki.

[edytuj] Filozofia matematyki

Wśród zagadnień filozoficznych związanych z matematyką można wyróżnić dwa główne bloki problemowe: blok problemów ontologicznych, tj. zagadnień istnienia, sposobów i kryteriów istnienia i natury bytów matematycznych, oraz korpus zagadnień epistemologicznych, tj. zagadnienia natury poznania matematycznego, granic poznania matematycznego i kryteriów prawdziwości poznania matematycznego.

Początkiem sporu o naturę obiektów matematycznych była platońska koncepcja idei, którym Platon przypisał istnienie realne - stanowisko to stało się początkiem skrajnego realizmu pojęciowego. Przeciw Platonowi wystąpił Arystoteles, którego poglądy stały się początkiem umiarkowanego realizmu pojęciowego. W średniowieczu spór o sposób istnienia pojęć rozgorzał na nowo jako spór o uniwersalia - wykształciło się w nim nowe stanowisko, nominalizm, w ostatnich wiekach epoki dominujące. Wprawdzie filozofia starożytna i średniowieczna zajmowała się sporem o status ontyczny wszelkich pojęć, a nie tylko obiektów matematycznych, niemniej współczesne stanowiska w kwestii bytów matematycznych są zbliżone, a realizm pojęciowy i nominalizm nadal stanowią jedne z głównych stanowisk w filozofii matematyki. Jako samodzielny dział filozofia matematyki rozwinęła się dopiero pod koniec XIX w. dzięki zaistniałemu w tym okresie rozwojowi formalnych metod logiki.

Według realizmu (nazywanego dla odróżnienia od innych stanowisk filozoficznych noszących tę nazwę antynominalizmem) uniwersalia istnieją realnie i niezależnie od egzemplifikujących je rzeczy. W filozofii matematyki analogicznie realiści twierdzą, że obiekty matematyczne to realnie istniejące lub skonstruowane poznawczo przedmioty abstrakcyjne. Realizm skrajny, zwany też platonizmem (w węższym znaczeniu) mówi, że obiekty matematyczne są pozaczasowymi, rzeczywistymi i obiektywnymi bytami, w przeciwieństwie do czasowych, przemijalnych i nie posiadających pełni istnienia przedmiotów zmysłowych i zjawisk. Nowocześniejszą formą realizmu jest konstruktywizm, odpowiednik dawnego konceptualizmu w sporze o uniwersalia, którego formą jest intuicjonizm. Według konstruktywistów obiekty matematyczne konstruuje się za pomocą wykonywalnych w skończonej liczbie kroków, konstrukcji.

Nominalizm, który zarysował się w starożytności na gruncie rozważań na temat logiki Arystotelesa i jego komentatorów, zaczął przybierać dojrzałą postać w XII w. (Abelard, Roscelin), w pełni rozwinął się jednak dopiero w wieku XIV William Ockham. Nominaliści uważają, że pojęcia ogólne nie istnieją samodzielnie, są to tylko czyste nazwy (flatus vocis). Realiści przyjęli liberalne kryterium istnienia bytów matematycznych - obiekt matematyczny istnieje, jeśli nie jest wewnętrznie sprzeczny. Konstruktywiści przyjęli stanowisko rygorystyczne - kryterium istnienia obiektu matematycznego jest istnienie metody jego konstrukcji.

Trzy główne XX-wieczne stanowiska w filozofii matematyki są rozbudowanymi wersjami stanowisk dawniejszych – formalizm jest wersją nominalizmu, intuicjonizm konstruktywizmu, logicyzm skrajnego realizmu pojęciowego.

Według formalistów przedmiotem badań matematycznych nie są obiekty matematyczne, ale teorie dające się wyprowadzić z pewnych założonych zdań logicznych, zwanych aksjomatami. Aksjomaty są zapisywane w pewnym języku, którego niektóre elementy mogą się ludziom kojarzyć z obiektami matematycznymi, matematyka nie wymaga jednak ich istnienia w jakiejkolwiek postaci.

Intuicjoniści głoszą, że cała matematyka może być oparta na pierwotnej intuicji ciągu liczb naturalnych oraz na uznawanej za intuicyjną zasadzie indukcji. Dopuszcza się wyłącznie konstrukcyjne dowody istnienia. Według intuicjonistów aktywność matematyczna umysłu ludzkiego ma charakter twórczy - konstruuje on obiekty matematyczne, nie odkrywa. Niesprzeczność jest dla intuicjonistów warunkiem koniecznym istnienia, ale nie warunkiem wystarczającym - byt matematyczny musi oprócz tego zostać skonstruowany. Intuicjoniści dokonują także reformy metodologii logiki formalnej uznając, że źródłem antynomii w matematyce jest brak oparcia w pierwotnych intuicjach, związany z nieuprawnionym przeniesieniem intuicji o przedmiotach nieskończonych na przedmioty skończone, posługiwaniem się nieostrymi terminami logiki klasycznej (głównie kwantyfikatorami ogólnymi) i przyjmowaną w logice klasycznej zasadą wyłączonego środka. Intuicjonizm w filozofii matematyki wywarł duży wpływ na ogólną problematykę ontologiczną, zwłaszcza filozofię Michaela Dummetta.

Logicyzm głosi, że wszystkie twierdzenia matematyki można posługując się definicjami i regułami logicznymi zredukować do logiki. Głównymi twórcami klasycznych wersji logicyzmu są Gottlob Frege i Bertrand Russell.

Główne stanowiska epistemologiczne w filozofii matematyki odpowiadają głównym kierunkom epistemologii. Empiryzm uznaje zdania matematyki za zdania empiryczne, aprioryzm, powiązany w filozofii matematyki z intuicjonizmem, za zdania analityczne a priori, według konwencjonalistów aksjomaty matematyki mają charakter odgórnie przyjętej konwencji.

[edytuj] Matematyka jako sztuka

Zobacz więcej w osobnym artykule: piękno matematyki.

Przypisy

↑ źródło: Encyklopedia PWN, [1]
↑ Traktat o malarstwie Leonarda da Vinci
↑ patrz cytaty w sekcji Wizje matematyki
↑ Mathematics is the tool specially suited for dealing with abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in this field. R. Hersh: The Mathematical Experience. Boston: Birkhäuser, 1981.
↑ "the science that draws necessary conclusions". Peirce, p.97
↑ "Mathematics is the art of giving the same name to different things." źródło: E.T. Bell: Men of Mathematics 2. Pelican Books, 1965, s. 609.
↑ "The art of doing mathematics consists in finding that special case which contains all the germs of generality." źródło: N. Rose: Mathematical Maxims and Minims. Raleigh N C: 1988.
↑ "[Mathematics] is an independent world created out of pure intelligence." źródło: William Wordsworth: Prelude; VI. Cambridge and the Alps; Oxford Anthology of English Literature, tomy I-II. Frank Kermode i John Hollander (red.). Oxford University Press, 1973.
↑ "Pure mathematics, may it never be of any use to anyone." źródło: H. Eves: Mathematical Circles Squared. Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1972.
↑ źródło: N. Rose: Mathematical Maxims and Minims. Raleigh N C: 1988.
↑ źródło: The Mathematical Intelligencer, v. 13, no. 1, Winter 1991
↑ Metamatematyka zajmuje się jednak także niealgorytmicznymi językami, a nawet językami z nieskończoną liczbą symboli.
↑ formalnie, są one słowami czyli ciągami symboli (bez przerywników)
↑ Zbiór twierdzeń może być bogaty nawet, gdy zbiór aksjomatów jest pusty. (Istnieje wymiana pomiędzy bogactwem aksjomatów i reguł dowodzenia; dwie teorie w pewnym sensie mogą być równoważne, gdy jedna ma silniejsze aksjomaty, a druga silniejsze reguły dowodzenia).
↑ "Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true."
↑ Przedmowa do P. Davis, R. Hersh: The Mathematical Experience. Boston: Birkhäuser: 1981.
↑ Bogate teorie matematyczne są w stanie modelować w zasadzie całą matematykę. Bywa, że pewne działy nawzajem zawierają się w sposób całkiem naturalny. W geometrii można definiować, geometrycznie, algebrę, a w algebrze, algebraicznie, geometrię. To powoduje pewną dowolność każdej klasyfikacji. Są też działy będące pomostami, jak algebra topologiczna (nie mylić z topologią algebraiczną), która, formalnie mówiąc, zawiera zarówno topologię jak i algebrę.
↑ (en) źródło
↑ Robert Goldblatt, Topoi, the Categorical Analysis of Logic., © 1984 - Elsevier Science Publishers B.V., nowy materiał © Robert Goldblatt, Dover edition, ISBN 0-486-45026-0