Wikipedysta:Kunegundal/Brudnopis
Z Wikipedii
Spis treści |
[edytuj] Prehistoria
Wiedza na temat wiedzy matematycznej, podobnie jak i innych aspektów życia ludzi żyjących w czasach prehistorycznych jest bliska zeru. Najwcześniejsze sposoby liczenia badane są poprzez obserwację społeczności pierwotnych, nie mających styczności z zewnętrzną cywilizacją, żyjących w kompletnej izolacji ludów. Większość z nich nie używa pozycyjnego systemu zapisu liczb, istnieje natomiast zazwyczaj pojęcie pozwalające wyróżnić kilka pierwszych liczb naturalnych, np. w starożytnej grece "ho lykos" znaczyło "wilk", "to lykos" - "dwa wilki", a "hoj lykos" - po prostu "wilki" w nieokreślonej bliżej ilości. W każdym z tych języków większą od pewnej granicznej wartość liczbę, wyraża się przez "uniwersalną" miarę, słowo oznaczające zazwyczaj tyle co "dużo","wiele".
Praczłowiek nie znał liczb, pojęcia takie jak "10" czy "256" były dla niego zupełnie nie zrozumiałe, można przypuszczać, że znaczenie "bliższym naturze" pojęciem jest pojęcie zbioru - dla człowieka prehistorycznego stado wilków stanowiło liczebnie nieokreślony, lecz zapewne niebezpieczny, zbiór elementów będących wilkami.
Człowiek ten (nazwijmy go Fred) nie potrafił liczyć, ale operując naturalnym "wyczuciem" istoty zbiorów, mógł odkryć własność zbiorów dziś zwaną istnieniem bądź nie istnieniem funkcji różnowartościowej z jednego zbioru na drugi - jeżeli tylko Fred ocenił, że na jednego wilka przypada co najmniej jeden jego kompan, mógł wezwać swoich współplemienców do ataku po żywność i cenne futra, w przypadku gdy "funcja ataku", określona na argumentach ze zbioru ludzi na zbiór wilków nie była różnowartościowa atak był (być może) zbyt ryzykowny . Oczywiście w warunkach walki i liczności obu grup ciężko było Fredowi dokonać precyzyjnej oceny, jednak w większości przypadków mógł on dokonać zgrubszego oszacowania (nie)różnowartościowości "funkcji ataku". I co ważniejsze, absolutnie nie potrzebował do tego pojęcia liczb...
Pierwszym materialnym dowodem na rozumienie przez praludzi zależności między zbiorami, na których jest określona bijekcja, są przedmioty, najczęściej kawałki kości, oznaczone nacięciami - gdy Fred chciał poznać liczność gromadki swoich dzieci dokonywał nacięć na przeznaczonym do tego kawałku kości - po jednym na każde dziecko. Aby następnym razem sprawdzić czy wszystkie dzieci są w na miejscu, musiał tylko sprawdzić czy istnieje bijekcja ze zbioru nacięć na zbiór dzieci - i znów Fred obył się bez liczb!
Najstarszą z takich kości jest kość wilka znaleziona na terenie byłej Czechowsłowacji, w wieku ocenianym na 30 tysięcy lat. Posiada ona 57 nacięć, w grupach po pięć, co według niektórych badaczy świadczy o możliwości używania przez właściciela kości systemu piątkowego. Według przeciwników tej teorii zgrupowanie nacięć może świadczyć o np. chęci zoorganizowania nacięć, tak by informacja w nich zawarta była bardziej czytelna.
Drugim pod względem wieku "przedmiotem matematycznym" jest znaleziona w Zairze, licząca sobie od 6000 do 9000 lat tzw. kość z Ishango. Kość posiada nacięcia zgrupowane w sposób zdawałoby się losowy, choć ciekawe jest, że ich liczność, w jednym z rzędów nacięć, jest ciągiem liczb pierwszych zawartych między 10 a 20.
Badania etologicze, neurofizjologiczne i socjobiologiczne dowodzą, że uwarunkowania gatunku ludzkiego skłaniają go do życia w grupach o liczności 30-40 osobników, można więc przypuszczać, że w miarę wzbogacania się języka wpólnego tej grupie może dojść do wykształcenia systemu nazw dla kilkudziesięciu początkowych liczb naturalnych. Częstym wypadkiem u ludów pierwotnych jest kojarzenie liczby 20 z człowiekiem, co stanowi ślad odpowiedniości pomiędzy liczbą 20 a ilością palców człowieka.
Pierwotne metody liczenia nie bazują jednak na systemach pozycyjnych i podobnie jak cyfry rzymskie, opierają się na sumowaniu liczb mniejszych w większe, zarówno w mowie jak i w piśmie.
Inspiracją do wybrania tematu oznaczeń matematycznych były dla mnie słowa Ludwiga Wittgensteina "Granice mojego języka są granicami mojego świata", jednak dość szybko przekonałem się, że w przypadku matematyki słowa te są nie do końca prawdziwe. Zadziwiające jest, iż większość oznaczeń matematycznych została zaproponowana przez osoby nie wymieniane wśród największych matematyków, często powodem wprowadzenia danego, powszechnie dziś używanego symbolu był przypadek (zmienna x), pomysłowość skryby (symbol +) czy wysokie mniemanie matematyka o doniosłości badanego przez niego zjawiska (Georg Cator i Alef Zero). Dość często pomysłowe oznaczenia wprowadzane były przez tłumaczy, zwłaszcza angielskich, wreszcie warto wspomnieć o specyficznym "lobby matematycznym", tj. fakcie, iz najwybitniejsi europejscy matematycy prowadzili ze sobą cykliczne rozmowy korespondencyjne, i na przykładzie tej korespondencji można niejednokrotnie prześledzić ewolucję, kształcenie się danego oznaczenia.
Wśród podstawowych czynników wymuszających wsprowadzanie prostych oznaczeń matematycznych należy wymienić ograniczone możliwości wymagającej dziesiątek czcionek na stronę tekstu maszyn drukarskich, a w przypadku czasów wcześniejszych działania skryb i kopistów, chcących uwolnić się od pracochłonnego i wielokrotnego zapisywania słów opisujących podobne zjawisko.
W wypowiedziach części matematyków odpowiedzialnych za wprowadzenie powszechnie używanych dziś symboli (głównie z "grupy Bourbaki"), pojawia się motyw chęci uporządkowania, usystematyzowania i wybrania najlepszego z powszechnie używanych, i niekiedy bardzo licznych, różnych oznaczeniach tych samych pojęć matematycznych.
[edytuj] Stałe liczbowe
[edytuj] Liczba Pi
Liczba będąca wartością stosunku długości obwodu koła do długości jego średnicy
.
jest najprawdopodobniej jedną z pierwszych badanych już przez starożytnych matematyków liczbą niewymierną.
Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby pi pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez 3,125.
Na pochodzącym z przed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie Rhinda, autorstwa skryby (według niektórych źródeł tylko kopisty oryginału) króla Ahmesa zatytułowanym "Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach" można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in odniesienia do wartości liczby 
, przybliżanej wartością 
. Jest to najstarszy znany ludzkości papirus egipski.
Należy zdawać sobie sprawę, że podejście starożytnych uczonych do matematyki było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy ksiągowości.
W Biblijnej Drugiej Księdze Kronik (Biblia Tysiąclecia, rodział 4, werset 2) pochodzące z V - IV w. p.n.e. można znaleźć słowa:
Następnie sporządził odlew okrągłego "morza" o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.
Z opisu tego wynika, iż wykonawca owego "morza" przyjął oszacowanie 
.
Archimedes w III wiek p.n.e. był prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym dokładniej własności liczby pi - udowodnił on, że 
. Jego metoda, pozwalająca oszacowywać z (teoretycznie) dowolną dokładnością, przez następne wieki była metodą najlepszą, często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków. Polegała na "przybliżaniu koła" wielobokami foremnymi o długości przekątnej ("średnicy koła") równej 1. Archimedes, podając dolne i górne ograniczenie Pi używał metody opisywania na i wpisywania w koło wieloboku foremnego.
Liu Hui, chiński matematyk , żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby pi na 3,1415.
Zu Chongzhi, chiński cesarski astronom około roku 500-nego n.e. podał dwa przybliżenia liczby pi - wcześniejsze - 
, oraz późniejsze, wynoszące 
, które do XV wieku było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby . Wartości te zanotowano w pochodzących z tego okresu kronikach dworskich.
Brahmagupta, hinduski matematyk, sto lat później (około roku 600 r.n.e.), podał inne przybliżenie wartości pi - 
, stosując własności 12,24,48 i 96 ścianów, których długości obwodów wynosiły odpowiednio 
. W rzeczywistości 
Ludolf Van Ceulen stosując metodę Archimedesa oblicza wartość pi z dokładnością do 20tu miejsc po przecinku, publikując wynik w dziele Van den Circkel (1596). Według biografów Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia pi, zwanej niekiedy od jego imienia Ludolfiną, pod koniec życia podając pi z dokładnością do 35 miejsc po przecinku (użył do tego wieloboku o 262 bokach!) - wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej.
W Mathesis enucleata Christoph Sturm oznacza wartość 3.14159.... literą e.
Liczba jest oczywiście literą alfabetu greckiego, jednak jej pierwszego utożsamienia z wartością 
dokonał w dziele Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) William Jones, walijski matematyk i pisarz. Oznaczenie to nie zdobyło uznania ani rozgłosu wśród matematyków, do czasu użycia go przez Leonarda Eulera w 1737 (w dziele Analiza), chociaż można znaleźć je we wcześniejszych pracach matematyków William'a Oughtred, Isaac'a Barrow i Davida Gregory. Oznaczenie pochodzi najpewniej ze związku wartości pi i długości obwódu, którego grecka nazwa to ????µ?????.
Euler w wydanym przed Analizą dziele De summis serierum reciprocarum (1734) używa oznaczenia p dla Π. Co ciekawe, używa on też tego oznaczenia w napisanym już po wydaniu Analizy liście do Jamesa Stirlinga z 16 kwietnia 1738.
W liście, napisanym do Eulera w 1739 roku przez Johanna Bernoulli, używa on oznaczenia c dla liczby pi, jednak już w następnym liście do Eulera, z początku 1740 stosuje on oznaczenie .
Oznaczenie pojawia się w Mathematical Tables (1742) Henry'ego Sherwina .
W Introductio in Analysin Infinitorum (1748) Euler pisze:
Satis liquet Peripheriam hujus Circuli in numeris rationalibus exacte exprimi non posse, per approximationes autem inventa est .. esse = 3,14159 [etc., to 128 places], pro quo numero, brevitatis ergo, scribam pi, ita ut sit = Semicircumferentiae Circuli, cujus Radius = 1, seu pi erit longitudo Arcus 180 graduum.
[edytuj] Podstawa logarytmów naturalnych e
Wartość 2.71828..., która po raz pierwszy pojawia się w angielskim tłumaczeniu Edwarda Wright'a pracy Descriptio Napier'a (1618) nie posiadała na początu specjalnego oznaczenia, pojawią się np. w pochodzących z 1690 i 1691 roku listach Leibniz'a do Huygens'a oznaczana przez b .
Leonhard Euler zaproponował oznaczenie e w manuskrypcie Meditatio in Experimenta explosione tormentorum nuper instituta("Rozważania nad eksperymentem przeprowadzanym ostatnio nad strzelającym działem) (przełom 1727 i 1728).W większym nakładzie treść manuskryptu pojawia się dopiero w 1862 w Opera postuma mathematica et physica.
Euler używa tego oznaczenia m.in. w liście do Goldbach'a z 26 listopada 1731.
Według większości badaczy, teza iż litera e pochodzi od nazwiska samego Eulera jest fałszywa, gdyż według wszystkich zachowanych źródeł Leonard Euler był osobą wyjątkowo skromną. Historycy matematyki pochodzenie oznaczenia e widzą w słówku exponential (wykładniczy) oraz fakcie, że litery a,b,c, i d były w czasach Eulera już dość szeroko wykorzystywane w matematyce.
[edytuj] Liczba i
Liczba urojona i po raz pierwszy użyta przez Leonarda Euler'a pojawia się w napisanym w 1777, ale opublikowanym dopiero w 1794 roku manuskrypcie Institutionum calculi integralis.
Manuskrypt napisany 5 maja 1777 przez Eulera, zatytułowany De Formulis Differentialibus Angularibus maxime irrationalibus quas tamen per logarithmos et arcus circulares integrare licet zawiera m.in. fragment:
Quoniam mihi quidem alia adhuc via non patet istud praestandi nisi per imaginaria procedendo, formulam 
littera i in posterum designabo, ita ut sit ii = -1 ideoque 1/i = -i.
Według Cajori symbol ten zostaje zapomniany i przypomniany przez Gauss'a w 1801 w Disquisitiones Arithmeticae.Gdy w 1821 Cauchy wydaje Cours d'Analyse, i jest już ogólnie znanym i uzywanym oznaczeniem.
[edytuj] "Podstawowe" operatory
[edytuj] Plus i minus
Specjalne znaki oznaczające dodawanie i odejmowanie liczb u starożytnych egipcjan po raz pierwszy pojawiają się we wspomnianym papirusie Rhida - plus symbolizowany jest przez nogi tworzące wraz z podłożem trójkąt ze stopami skierowanymi w lewo - minus reprezentowany jest przez stopy skierowane w prawo.
Hindusi używali oznaczenia polegającego na dopisaniu krzyżyka obok liczby, w celu oznacznenia liczb ujemnych (np. w manuskrypcie Bakhshali z około 1000 roku). W pracach innych hinduskich matematyków wartość ujemna reprezentowana jest przez kropkę, lub koło umieszczane nad liczbą.
Nicole d' Oresme (1323-1382) Algorismus proportionum (1356)
Zapisane pochylonym pismem, jednym pociągnięciem łacińskie słówko et (oznaczające i) pojawia się w późniejszym (ale jeszcze XIV wiecznym) egzemplarzu manuskryptu i jest skróconym sposobem zapisu dodawania:
"Primi numeri sesquiterti sunt 4 et 3, et primi numeri sev termini sesquialtere sunt 3 et 2"
Symbole + i - po raz pierwszy pojawiają się w dziele Mercantile Arithmetic or Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft, autorstwa Johannes Widmann'a wydanym w Leipzig w 1489 roku. Jest to podręcznik z zakresu ekonomi.
"4 centner + 5 pfund", "5 centner - 17 pfund"
Oznacza odpowiednio 4 centnery i 5 funtów, oraz 5 centnerów bez 17 funtów.
Najprawdopodobniej pierwszym podręcznikiem stricte matematycznym zawierającym oznaczenia +/- jest Een sonderlinghe boeck in dye edel conste Arithmetica (1514), Giela Vander Hoecke , niektórzy historycy (David Smith - History of Modern Mathematics) podają pozycję Ayn new Kunstlich Buech (1518), Henricusa Grammateus.
Do powszechnego użycia w tym okresie symbole te weszły tylko w Wielkiej Brytanii, dzięki pracy The Whetstone of Witte (1557), Roberta Recorde. Symbole te często używano do oznaczania stopnia załadowania różnych kontenerów.
Symbol "plus/minus" ± został wprowadzony przez Williama Oughtred w Clavis Mathematicae.
[edytuj] Symbole mnożenia i dzielenia
Jukstapozycja (ab) oznaczająca mnożenie pojawia się w pochodzącym z VII-X wieku manuskrypcie, odkopanym w wiosce Bakhshali (Indie).
Symbol dzielenia a)b pojawia się u Michaela Stifel'a (1487-1567) w Arithmetica integra, napisanym w 1540, wydanym w Nuernbergu w 1544.
Oznaczający mnożenie symbol × , zwany krzyżem świętego Andrzeja, pojawia się po raz pierwszy w dodatku anonimowego autora, wydanego w 1618 w tłumaczeniu Edward Wright'a Descriptio Johna Napier'a. Cajori pisze, iż istnieją przesłanki pozwalające przypuszczać, iż autorem dodatku jest Williama Oughtred (1574-1660). Symbol ten pojawią się też w jego dziele Clavis Mathematicae (klucz do matematyki), napisanym ok. 1628, wydanym w Londonie w 1631.
Oznaczenie a : b po raz pierwszy pojawia się w 1633 roku w dziele Johnson Arithmetik; In two Bookes (Londyn, 1633). Autor ogranicza się jednak tylko do "specjalnego" zapisu "standardowych" ułamków (np. ćwiartka oznaczona jest przez 1:4).
Oznaczająca mnożenie "gwiazdka" *, oraz symbol dzielenia ÷ po raz pierwszy pojawiają się u Johanna Rahn'a (1622-1676) w Teutsche Algebra (1659). Duży wkład w popularyzację tych oznaczeń wnosi John Pell, którego tłumaczenie Teutsche Algebra pojawiło się w Londynie w 1668.
Powszechnie uważa się, że symbol 
został zaproponowany przez Gottfrieda Wilhelma Leibniz'a w książce Acta eruditorum (1684). 29 lipca 1698 roku, Leibinz w liście napisanym do Johna Bernoulli'ego napisał:
"Nie podoba mi się znak X jako symbol mnożenia, ponieważ łatwo go pomylić z x; ... często wiążę dwie wielkości po prostu za pomocą kropki i oznaczam mnożenie jako ZC · LM. Zatem dla oznaczenia stosunku używam nie jednej kropki, ale dwóch kropek, które stosuję też dla dzielenia"
Symbol "dużej sumy" (duże Pi) został wprowadzony przez Rene Descartes'a (Gullberg) lub Gauss'a w 1812 (Cajori).
[edytuj] Ułamki
Według części historyków matematyki wysoce prawdopodne jest pochodzenie współczesnego sposobu zapisu ułamków od matematyków hinduskich. Zapisywali oni licznik i mianownik "piętrowo", nie używając jednak kreski rozdzielającej - manuskrypty Brahmagupta 'y (ok. 628 r.n.e) i Bhaskara (ok. 1150).
Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła hindusów, niektórzy badacze uważają, że ślady historyczne pozwalają przypisać "kreskę" matematykowi arabskiemu al-Hassar (ok. 1200 r.).
Fibonacci jako pierwszy europejczyk publikuje w swoich pracach znane do dziś oznaczenie ułamków.
[edytuj] Symbole relacji
[edytuj] Symbol równości
Równość przez lata przedstawiana była przy pomocy słów, takich jak aequales, aequantur, esgale, faciunt, ghelijck czy gleich, czasami w skróconej formie (np. aeq)
Symbol 
, oczający równość został przedstawiony przez Roberta Recorde w The Whetstone of Witte (1557), chociaż pojawia się w manuskrypcie przechowywanym w bibliotece Universtetu w Boloni. Manuskrypt datowany jest na lata 1550-1568, możliwe jest więc, iż któryś z bolońskich uczonych wprowadził to oznaczenie przed Recorde'm.
Symbol ten zostaje porzucony i ponownie pojawia się w anonimowym dodatku do angielskiego wydania Descriptio Napiera, w tłumaczeniu Edwarda Wright'a wydanego w 1618 roku (autorstwo przypisuje się Oughtred 'owi).
[edytuj] Nierówność
Symbole nierówności ostych < i > po raz pierwszy pojawiają się w Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas (1631) Thomasa Harriot 'a.
Według anegdoty inspiracją dla Harriot'a miał być tatuaż noszony przez Indianina, którego matematyk spotkał podczas swojej podróży do Ameryki.
Symbole 
i 
zostały zaproponowane przez Pierrea Bouguer w 1734, chociaż wcześniej, w 1670 John Wallis zapisywał nierówności nieostre podobnie, z dodatkową linią rysowaną nad znakiem nierówności.
Nierówność, zapisywana jako ~ została wrowadzona przez Leonarda Eulera.
[edytuj] Rozdzielność operacji
Konwencja rozdzielności dodawania względem mnożenia stosowana jest w najstarszych, XVI wiecznych podręcznikach algebry. We wczesnych pracach stosowana była również reguła rozdzielności mnożenia względem dzielenia.
W książce Mental Arithmetic (1892), M. Bailey zaleca "unikanie wyrażeń zawierających i ÷ i ×.
W wydanej w 1898 książce G. Fisher'a i I. Schwatt'a p.t. "Text-Book of Algebra" a÷b×b oznacza (a÷b)×b.
W High School Algebra, Elementary Course (1907) Slaught'a i Lennes'a, zaleca się rozwiązywanie poprzez wykonanie najpierw mnożeń, następnie dzieleń w kolejności w jakiej się pojawiają od lewej do prawej, z koleji trzy lata później First Course of Algebra (Hawkes, Luby, i Touton) autorzy piszą by rozwiązywać działania w kolejności w jakiej się pojawiają.
W 1912 w First Year Algebra, Webstera Wells i Waltera Hart'a pojawia się fragment:
"Indicated operations are to be performed in the following order: first, all multiplications and divisions in their order from left to right; then all additions and subtractions from left to right."
W 1917 w raporcie The Report of the Committee on the Teaching of Arithmetic in Public Schools (Mathematical Gazette 8), zaleca się bezwzględne stosowanie nawiasów w przypadku wyrażeń zawierających mnożenie i dzielenie.
[edytuj] Analiza matematyczna
[edytuj] f(x)
Oznaczający funkcję o argumencie x symbol f(x) został przedstawiony przez Leonharda Euler'a w Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (1734).
[edytuj] Moduł
Wartość bezwzględna liczby a zapisywana jako |a| pojawia się po raz pierwszy u Karl Weierstrass'a (1815-1897) na 67 stronie eseju Zur Theorie der Potenzreihen (1841), stosowany później konsekwentnie przez autora (np. w 1859 roku w Neuer Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra).
[edytuj] Logarytm
Funkcja logarytmiczna opisywana przez Log. pojawia się w przetłumaczonym na angielski przez Edwarda Wright pracy Napier'a A Description of the Admirable Table of Logarithmes (1616), pojawia się też m.in. u Johannesa Kepler'a (1571-1630) w Chilias logarithmorum (1624).
Symbol log. stosowany jest przez Bonaventura Cavalieri (1598-1647) w Directorium generale Vranometricum (1632).
Oznaczenie log używane jest w Clavis mathematicae Williama Oughtred w wydaniu z 1647.
Oznacznie logarytmów naturalnych ln zostało zaproponowane w 1893 przez Irvinga Stringham'a (1847-1909) w Uniplanar Algebra.
[edytuj] "Strzałka" funkcyjna
Oznaczenie 
zostało zaproponowane przez Witolda Hurewicza około 1940 roku w publikacji naukowej dotyczącej grup homotopologicznych.
[edytuj] Pochodna funkcji
W podręczniku Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770) Joseph Louis Lagrange wprowadził oznaczenie 
. Notacja ta pojawia się w roku 1759 w drugim wydaniu książki François Daviet de Foncenex, przesłanki historyczne pozwalają przypuszczać iż była ona wprowadzona przez współpracującego z Foncenex'em Lagrange'a.
Lagrange porzucił ten sposób zapisu, przypomniany dopiero w 1841 przez Carla Gustava Jacobi.
Oznaczenia 
zostały przedstawione przez Gottfried'a Leibniz'a w manuskrypcie z 11 listopada 1675 roku.
Oznaczenia kolejnych pochodnych funckji f(x) przez 
... zostały zaproponowane przez Josepha Louisa Lagrange'a w Théorie des fonctions analytiques (1797).
W podręczniku Sur une nouvelle espe`ce de calcul relatif a` la différentiation et a` l'integration des quantités variables, wydanym w 1772 roku Lagrange wprowadza oznaczenie 
oraz 
.
Oznaczenie 
zostało zaproponowane przez Louis François Antoine Arbogast (1759-1803) w De Calcul des dérivations et ses usages dans la théorie des suites et dans le calcul différentiel.
[edytuj] Całka
Symbol całki (będący "wydłużonym" s ze słowa "summa") został po raz pierwszy użyty przez Leibniz'a w nieopublikowanym wówczas manuskrypcie z 29 października 1675 roku.
Przed wprowadzeniem tego oznaczenia, Leibniz pisał omn. (od słowa "omnia") przed wyrażeniem podcałkowym.
W liście z 21 listopada tego roku do sir Henry'ego Oldenburg Leibniz pisze:
Utile erit scribi 
pro omnia, ut 
= omn. l, id est summa ipsorum l
W 1686 roku Leibniz opublikował w swoim pismie matematycznym Acta Eruditorum oznaczenia całki.
Granice całkowania przez następne lata przedstawiane przez opis, Euler podjął nieudaną próbę zpopularyzowania zapisu 
, jednak znany do dzisiaj sposób oznaczania granic całkowania został wprowadzony przez Jean Baptiste Joseph Fourier'a artykule wydanym w periodyku Akademi Francuskiej Mémoires w 1819 roku, który po niecałych trzech latach stał się częścią The Analytical Theory of Heat (1822).
[edytuj] Granice
Symbol lim. (z kropką) został przedstawiony przez Simon-Antoine-Jean L'Huilier, który w 1786 roku wygrał konkurs ogłoszony przez l'Academie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin. Jego esej okazał się ważnym dziełem przedstawiającym prostą i precyzycją teorię przedstawiającą pojęcie nieskończoności.
Oznaczenie lim (bez kropki) zostało wprowadzone przez Karla Weierstrass'a w napisanym w 1841, ale wydanym dopiero w 1894 dziele Mathematische Werke.
"Strzałkowe" oznaczenie granic wprowadził Godfrey Harold Hardy w A Course of Pure Mathematics wydanym przez Cambridge University Press w 1908.
[edytuj] Symbol nieskończoności
Został zaproponowany przez Johna Wallis'a w De sectionibus conicis (1655), i konsekwentnie używany przez autora w późniejszych pracach (Arithmetica infinitorum - 1655 lub 1656)
W "Zero to Lazy Eight", Alexander Humez, Nicholas Humez i Joseph Maguire piszą:
Wallis był typowym uczonym i jest całkiem prawdopodobne, że wywiódł on symbol 
z rzyskiego znaku oznaczającego 1'000 - CD, oznaczanego też przez M -- chociaż jest też prawdopodobne, że zainspirował go znak symbol małej omegi, omega będąca ostatnią literą greckiego alfabetu jest metaforą limitu, końca
[edytuj] Epsilon jako błąd
Augustin-Louis Cauchy użył symbolu ε jako "małego" błędu (różnicy) w Cours d'analyse (1821). Samo oznaczenie pochodzi najpewniej od francuskiego słowa "erreur"(błąd).
[edytuj] Trygonometria
[edytuj] Sinus
W 1583 Thomas Fincke (lub Finck) używa oznaczenia sin. (z kropką) w 14 volumie książki Geometria rotundi.
W 1624 Edmund Gunter wprowadza oznaczenie sin, rozszerzając o nie tzw. skalę Gunter'a (symbol ten nie pojawia się u samego Guntera).
W podręczniku geometrii wydanym przez Richarda Norwood w Londonie (1631), auotr wprowadza oznaczenia:
"in these examples s stands for sine: t for tangent: sc for sine complement: tc for tangent complement: sc for sine complement: tc for tangent complement : sec for secant"
Wedłług Cajori popularyzację symbolu sin zawdzięczamy Williamowi Oughtred, który wprowadził oznaczeni sin dla sinusa w dziele Addition vnto the Vse of the Instrvment called the Circles of Proportion, niektóre źródla podają, iż symbol ten wprowadził francuski matematyk Hérigone w 1634. Najnowsze badania pozwalają przypuszczać, że Oughtred wprowadził ten symbol wcześniej.
[edytuj] cosinus
W Geometria rotundi (1588) Thomas Fincke cosinus oznacza przez sin. com.
Sir Jonas Moore używa oznacznia cos. w 1674 w Mathematical Compendium. To samo oznaczenie pojawia się u Samuela Jeake w Arithmetick (1696). Według Cajori pierwsze użycie oznaczenia cos nalezy przypisać Leonhardowi Euler'owi, który wprowadza to oznaczenie w Commentarii Academiae Scient (1729). Inne źródła podają Williama Oughtred'a jako autora tego oznaczenia (Cajori pisze, że Oughtred używał oznaczenia sco dla cosinusa).
[edytuj] tangens
W 1583, Thomas Fincke' w Geometria rotundi wprowadza oznaczenie tan. i tang.
Oznaczenie tan pojawia się w 1632 u Williama Oughtred w The Circles of Proportion.
[edytuj] cotangens
Thomas Fincke używa oznaczenia tan. com..
Sir Jonas Moore używa oznaczenia Cot. w Mathematical Compendium.
Samuel Jeake w dziele Arithmetick (1696) używa symbolu cot.
A. G. Kästner w książce Anfangsgründe der Arithmetik, Geometrie ... Trigonometrie (1758) pisze cot .
[edytuj] Teoria liczb
Richard Dedekind wprowadza oznaczenie R, zapisywane gotycką czcionką w Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872). Dedekind używa oznaczeń K dla liczb całkowitych i J dla liczb złożonych.
W 1895 w Formulaire de mathématiques Giuseppe Peano wprowadza oznaczenia N dla liczb całkowitych dodatnich, n dla całkowitych, n0 dla całkowitych liczb dodatnich z zerem, R dla dodatnich liczb wymiernych, r dla wszystkich wymiernych, Q dodatnich rzeczywistych, q dla wszystkich rzeczywistych oraz Q0 dla dodatnich rzseczywistych z zerem.
Inne oznaczenia pojawiają się u Helmuta Hasse w Höhere Algebra - Γ oznacza liczb całkowite a Ρ wymierne.
Usystematyzowanie sposobu oznaczania klas liczb zawdzięczamy grupie Bourbaki - w sygnowanej tym nazwiskiem książce Algébre w rozdziale I wrowadzone zostają używane do dziś oznaczenia liczb wymiernych i rzeczywistych (od niemieckich słówek Quotient i Zahlen)
Julio González Cabillón:
"Nadszedł najwyższy czas by usystematyzować te oznaczenia raz na zawsze, i rzeczywiście zaproponowane przez nas oznaczenia spotkały się z ogólną aprobatą."
Symbol przystawania 
został zaproponowany przez Carla Friedrich Gauss'a (1777-1855) w Disquisitiones arithmeticae (1801). Cytat z pierwszego tomu książki:
Numerorum congruentiam hoc signo, ≡, in posterum denotabimus, modulum ubi opus erit in clausulis adiungentes, -16 ≡ 9 (mod. 5), -7 ≡ 15 (mod. 11).
Symbol ten pojawia się wcześniej w prywatnej korespondencji Gaussa.
[edytuj] Logika i teoria zbiorów
[edytuj] Oznaczenie zbioru
"Wąsy" { i } będące "klamrami" pomiędzy którymi zapisuje się elementy zbioru zostały zaproponowane w 1895 przez Georga Cantor'a w pracy Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre:
Unter einer "Menge" verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die "Elemente" von M genannt werden) zu einem Ganzen.In Zeichen drucken wir dies so aus:
Die Vereinigung mehrerer Mengen M, N, P,..., die keine gemeinsamen Elemente haben, zu einer einzigen bezeichnen wir mit
( M, N, P,... ).
[edytuj] Zmienne
Symbol p reprezentujący zdanie logiczne został zaproponowany przez Giuseppe Peano w Studii di logica matematica (1897). Do oznaczenia p "dołączył" analogiczne symbole q i r Bertrand Russell w The Principles of Mathematics (1903).
[edytuj] Spójniki logiczne
Symbol tyldy, oznaczający zaprzeczenie pojawia się u Peano w Studii di logica matematica (1897). Symbol ~p, oznaczający "nieprawda, że p" po raz pierwszy pojawia się w 1908 w artykule naukowym Mathematical logic as based on the theory of types Bertranda Russell'a, opublikowanym w American Journal of Mathematics, numer 30.
Zapis 
został zaproponowany przez Bertranda w Mathematical Logic as Based on the Theory of Types.
[edytuj] Zbiór pusty
Symbol 
, oznaczający zbiór pusty, pojawia się po raz pierwszy u Nicolasa Bourbaki (fikcyjnego matematyka, pod nazwiskiem którego pisali matematycy zrzeszeni w "Stowarzyszeniu współpracowników Nicolasa Bourbakiego") w dziele Éléments de mathématique Fasc.1: Les structures fondamentales de l'analyse; Liv.1: Theorie de ensembles. (Fascicule de resultants) (1939). André Weil, jeden z członków towarzystwa w swojej autobiografi pisze, iż symbol ten został zaproponowany przez niego oraz, że wywodzi się on z norweskiej litery .
[edytuj] Suma i różnica zbiorów
Giuseppe Peano, włoski pionier teori mnogości, zaproponował symbole 
i 
w podręczniku Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann (1888).
[edytuj] Przynależność
Zapis 
, oznaczający przynależność elementu do danego zbioru został zaproponowany przez Peano w pierwszym tomie Formulaire de mathematiqués (Turyn,1895).
[edytuj] Inkluzja
Oznaczenie 
zostało wprowadzone przez Ernsta Schröder'a w pierwszym tomie Vorlesungen über die Algebra der Logik(1890), wypierając stosowane wcześniej dla zbiorów symbole < i >.
[edytuj] Kwantyfikator egzystencjalny
Symbol "odbitego w lustrze" </math>\! \exists</math> po raz pierwszy pojawia się u Giuseppe Peano, jednak w innym niż dzisiaj znaczeniu - Peano używał tego oznaczenia do wyróżnienia predykatów klas (Formulaire de mathematiqués, vol II, 1897). W znanym dzisiaj kontekście "lustrzane" </math>\! \exists</math> pojawia się w pracy Bertranda Russell'a - Principles of Mathematics (1903).
[edytuj] Kwantyfikator ogólny
Przedstawiona "do góry nogami" litera a 
(od niemieckiego ""All-Zeichen") najwcześniej pojawia się u Gerharda Gentzen w Untersuchungen ueber das logische Schliessen (1935). Gentzen wprowadził ten symbol przez analogię do oznaczenia kwantyfikatora egzystencjalnego.
[edytuj] "Halmos", "co kończy dowód"
Symbol małego kwadracika oznaczającego koniec dowodu matematycznego został spopularyzowany przez Paul R. Halmos'a. Sam Halmos jednoznacznie zaprzecza, że to on wymyślił te oznaczenie - w autobiografi I Want to Be a Mathematician: An Automathography pisze:
The symbol is definitely not my invention -- it appeared in popular magazines (not mathematical ones) before I adopted it, but, once again, I seem to have introduced it into mathematics
[edytuj] Alef zero
Oznaczenia te zostały wprowadzone przez Georg'a Cantor'a około 1893 roku. W swojej korespondencji ze znajomymi matematykami autor, nieskromnie, pisze, ze "standardowo" stosowane w matematyce litery alfabetów greckiego i łacińskiego były jego zdaniem zbyt popularne i wykorzystane, a jego liczby, będące w matematyce czymś zupełnie nowym, zasługują na wyróżnienie w postaci przypisanego im indywidualnie oznaczenia - liczba alef, będąca pierwszą literą alfabetu hebrajskiego symbolizować miała "początek czegoś nowego".
[edytuj] Różne
[edytuj] "Kropka dziesiętna"
W podręczniku Exempel Büchlin (1530) Christoff Rudolff używa pionowej strzałki rozumianej dokładnie tak samo, jak dzisiejsza "kropka" bądź "przecinek" oddzielający część całkowitą liczby od części ułamkowej. Rudolff stosował to oznaczenie do rozwiązywania problemów obliczania odsetek kredytowych, i jak pisze Cajori, nie był świadom tego, że był o krok od opisania opublikowania istotnego wynalazku matematycznego.
W 1579 Francois Vieta publikuje manuskrypt, którym używa pionowej kreski jako separatora, i jak pisze Cajori "od pionowej kreski do przecinka niedaleka droga".
William Oughtred nie używał kropki dzisiętnej - dla 0.56 pisał 0/56 podkreślając część ułamkową liczby.
Separator , dla po raz pierwszy pojawia się w Descriptio Napiera w tłumaczeniu E. Wrighta.
[edytuj] Silnia
Symbol n! (n silnia), oznaczający iloczyn 
został zaproponowany przez Christiana Krampa w 1808 roku w dziele Éléments d'arithmétique universelle, będącym pierwszą próbą podania spójnej i abstrakcyjnej definicji silii.
[edytuj] Notacja "O"
Według Władysława Narkiewicza oznaczenia O i o zwane są często symbolami Landau. Określenie to jest tylko częściowo słuszne, gdyż według nieznanych wcześniej przesłanek oznaczenia te pojawiają się już w drugim wolumenie rozprawy naukowej na temat teorii liczb 'P. Bachmann'a (1894). Niemal pewnym jest, że Landau, przed opublikowaniem swojej pracy w 1909 roku widział pracę Bachmanna.
Narkiewicz wspomina o pracy Paula Bachmanna Analytische Zahlentheorie, Bd. 2: Die Analytische Zahlentheorie wydanej w Leipzig w 1894, nie podkreślając jednak, iż Bachamann był twórcą notacji "dużego O", podczas gdy "małe o" (oznaczane wcześniej przez {·} jest dziełem Edmunda Landau.
[edytuj] Procent
Pomysł używania setnych części całości przypisuje się już starożytnym Grekom, choć słowo procent (angielskie percent) pochodzi z łacińskiego słowa per centum, oznaczające właśnie setną część. W Europie korzystanie z procentów stało siępopularne pod koniec XV wieku, w związku z rozkwitem handlu, potrzeby obliczania zysku i strat czy podatków.
System podatkowy starożytnego Rzymu korzystał z procentów - podatek od sprzedaży (zwany centesima rerum venalium) wynosił jedną setną kwoty zapłaconej za dany przedmiot (inne podatki, to np. 1/20 i 1/25 wartości niewolnika za jego, odpowiednio, uwolnienie lub sprzedaż).
 % w XV wieku |
 % w XVII wieku |
 % w XVIII wieku |
[edytuj] Podłoga i sufit
Standardowe oznaczenia podłogi i sufitu liczb pojawiły się stosunkowo niedawno, bo w 1962, zaproponowane przez Kennetha Iversona w książce A Programming Language.
[edytuj] Zmienne
Liczby greckie pojawiają się w pracach wielkich matematyków greckich. Arystoteles w swoich pracach używa pojedynczych bądź podwójnych liter do oznaczania wartości liczb.
Oznaczenia nieznanych wartości literami greckimi po raz pierwszy miał dokonać Diofantus (ok. 250-275 p.n.e.)
W Europie oznaczona literą ρ zmienna pojawia sie u Benedetto z Florencji w Trattato di praticha d'arismetrica (1463)
W Liber abbaci (1202) Leonarda z Pissy zmienne parametry autor określa pojedynczymi, małymi literami łacińskimi:
diuidatur aliquis numerus .a. in duas partes, que sint .b.g.; et diuidatur .a. per .b., et ueniet .e.; et .a. per .g. ueniet .d.: dico quod multiplicatio .d. in .e.est sicut agregatio .d.cum .e.
Kropki umiejscowione przy zmiennej były zabiegiem stylistycznym mającym wyznaczyć zmienne z tekstu (była to często stosowana w tamtych czasach praktyka).
Podobne oznaczenie zmiennych pojawia się u Jordanusa Nemorarius w złożonym w 1250 roku w bibliotece Katedry w Amiens (północna Francja) manuskrypcie.
Reprezentujące liczby litery a, c i d pojawiają się u Christoffa Rudolffa w Behend vnnd Hubsch Rechnung (1525), podobne oznaczenia pojawiają się u Girolamo Cardana w De regula aliza (1570).
Michael Stifel wprowadza oznaczenie q (od słowa quantita dla zmiennych w dziele Arithmetica integra (1544).
W 1575 Guilielmus Xylander w tłumaczeniu Arytmetyki Diofantusa na łacinę wprowadza oznaczenie N (od słowa numerus) dla nieznanych wartości.
Pierwszą osobą używającą liter do oznaczania parametrów i nieznanych w równaniach matematycznych był Francois Vieta, który wprowadził ten sposób w In artem analyticem isogoge (1591).
Oznaczenia a,b,c.. dla wartości znanych oraz ...,x,y,z dla nieznanych zostały zaproponowane przez René Descartes (Katezjusza) w La géometrie (1637). W tym samym dziele pojawia się używane do dziś równanie prostej ax + by = c.
"Standardowe" używanie litery x wywodzi się od sposobu druku - każda strona składała się z ułożonych przez obsuługującego prasę drukarską czcionek, których z oczywistych względów była skończona ilość. Według podanej przez Cajori anegdoty, Kartezjusz w oryginale La géometrie "standardowo" oznaczał zmienną literą z, co spowodowało problemy drukarza, który nie miał wystarczającej ilości tej czcionki. Po uzyskaniu odKartezjusza odpowiedzi na pytanie, czy koniecznie musi to być litera z, zaproponował użycie litery x, znaczenie rzadziej w języku francuskim spotykanej.
[edytuj] Bibliografia:
- Florian Cajori - "A History of Mathematical Notations"
- John Conway i Richard Guy - "Księga liczb"
- Georges Ifrah - "Dzieje liczby, czyli historia wielkiego wynalazku"
