Lemat Riemanna

Z Wikipedii

Lemat Riemanna

Niech $f\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ będzie funkcją ciągłą za wyjątkiem skończonej liczby punktów tego przedziału. Wówczas

$\lim_{\nu \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \nu x dx = 0$

Dowód

1. Dla funkcji tożsamościowo równej 1:

$\left| \int\limits_{a}^{b} \sin \nu x dx \right| = \left| \frac{\cos \nu a - \cos \nu b}{\nu} \right| \leq \frac{2}{\nu} \to 0$

w związku z tym twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji f(x) = 1

2. Dla funkcji $f (x) = x$ :

$\left| \int\limits_{a}^{b} x \sin \nu x dx \right| = \left| \left( \frac{\sin \nu x}{\nu^2} - \frac{x \cos \nu x}{\nu} \right)\left| {a \atop b} \right. \right| = \left| \frac{\sin \nu a - \sin \nu b}{\nu^2} + \frac{b \cos \nu b - a \cos \nu a}{\nu} \right| \leq \frac{2}{\nu^2} + \frac{|a|+|b|}{\nu} \to 0$

3. Dla funkcji liniowej $f (x) = a x + b$ , gdzie $a, b \in \mathbb{R}$ :

Słuszność twierdzenia dla tak określonej funkcji wynika z punktów 1. i 2. oraz własności liniowości całki oznaczonej.

4. Dla funkcji przedziałami liniowej Jeżeli funkcja jest liniowa w skończonej ilości podprzedziałów przedziału [a; b] to na mocy 3 jest w każdym z tych podprzedziałów jest słuszny lemat Riemmana wskutek czego twierdzenie jest słuszne w przedziale [a; b]

5. Dla funkcji ciągłej na przedziale $[a, b]$ :

Można przypuszczać że funkcję ciągłą na $[a, b]$ da się aproksymować za pomocą funkcji przedziałami liniowej z dowolną dokładnością. Oczywistym jest wówczas że lemat Riemmana (na podstawie punktu 4) jest prawdziwy także dla dowolnej funkcji ciągłej.

Istotnie w tym przypadku intuicja nie zawodzi, co można wykazać przeprowadzając poniższe rozumowanie.

Jeżeli funkcja jest ciągła na $[a, b]$ to (na mocy twierdzenia Cantora) jest jednostajnie ciągła na $[a, b]$ (przedział ten jest zbiorem zwartym).

Wybierzmy pewną liczbę $\varepsilon$ , wybór ten pociąga za sobą istnienie pewnej liczby $δ$ , takiej że dla dowolnych wartości $x_1, x_2 \in [a, b]$ tak, że

$|x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$ ,

obierzmy następnie liczby $a = c 0 < c 1 < ... < c n = b$ w taki sposób aby $| c n - c n - 1 | < δ$ .

Rozważmy funkcję $\varphi$ liniową w każdym z przedziałów $[c n - 1; c n]$ i o własności $f (c n) = φ(c n)$ . Weźmy $x$ należączy do przedziału $[c n - 1; c n]$ . Korzystając z faktu że $\varphi$ jest liniowa wiemy, iż $\varphi(x)$ leży pomiędzy $φ(c n - 1)$ i $φ(c n)$ dlatego liczba $\varphi(x)-f(x)$ leży pomiędzy liczbami $φ(c n - 1) - f (x)$ i $φ(c n) - f (x)$ które mają moduł mniejszy od $\varepsilon$ . Co za tym idzie:

$| \phi (x) - f(x)| < \varepsilon$

Wynika z tego, że dla dowolnej ciągłej funkcji $\varphi(x)f$ można znaleźć taką funkcję $\varphi$ taką że:

$| \phi (x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2(b-a)}$ ,

przedziałami liniową, to znaczy (na mocy 4) spełniającą lemat Riemanna:

$\left| \int\limits_{a}^{b} \phi (x) \sin \nu x dx \right| < \frac{1}{2} \varepsilon$

czyli:

$\left| \int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \nu x dx \right| \leq \left| \int\limits_{a}^{b} (f(x) - \phi (x) ) \sin \nu x dx \right| + \left| \int\limits_{a}^{b} \phi (x) \sin \nu x dx \right| \leq \frac{\varepsilon}{2(b-a)} (b - a) + \frac{1}{2} \varepsilon = \varepsilon$

Co dowodzi słuszności twierdzenia dla funkcji ciągłej

6. Dla funkcji posiadającej jeden punkt nieciągłości w punkcie $c$ .

Całkę występującą w twierdzeniu rozbijamy na sumę całek:

$\int\limits_{a}^{b} f(x) \sin \nu x dx = \int\limits_{a}^{c} f(x) \sin \nu x dx +\int\limits_{c}^{b} f(x) \sin \nu x dx = \int\limits_{a}^{c} \phi_1(x) \sin \nu x dx +\int\limits_{c}^{b} \phi_2(x) \sin \nu x dx$

Przy czym funkcje $φ 1,φ 2$ są równe funkcji $f$ (odpowiednio) na przedziale $[a, c)$ i $(c, a]$ , a w punkcie $c$ są uzupełnione tak aby były ciągłe w przedziałach $[a, c]$ i $[c, b]$ (korzystamy z faktu, iż zmiana wartości w skończonej ilości punktów funkcji podcałkowej nie zmienia wartości całki).

Funkcje $φ 1,φ 2$ są ciągłe więc (na mocy 5) przechodząc z $ν$ do nieskończoności otrzymujemy tezę twierdzenia (równość jest zachowana w przejściu granicznym).

7. Dla funkcji mającej skończoną liczbę punktów nieciągłości:

Dzieląc przedział $[a, b]$ na skończoną liczbę podprzedziałów w których funkcja $f$ ma tylko jeden punkt nieciągłości na mocy 6. otrzymujemy tezę twierdzenia. QED

Kategorie: Twierdzenia matematyczne • Analiza matematyczna

We provide Linux to the World

Lemat Riemanna

Z Wikipedii

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj