Logarytm naturalny

Z Wikipedii

Logarytm naturalny ln(x) jako całka po funkcji 1/x

Wykres funkcji logarytm naturalny w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) to logarytm o podstawie e=2,718281828..., oznaczany na ogół symbolem ln x. Liczba e zwana jest liczbą Eulera. Logarytm o tej podstawie ma cechę wyróżniającą go spośród wszystkich innych logarytmów: jego pochodna wyrażona jest wyjątkowo prostym wzorem:

${(\log_a x)}^\prime=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\log_{a}(x+\Delta x)-\log_a(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\log_a \left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)=$ $=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{x}\log_a \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}}=\frac{1}{x}\log_a e=\frac{1}{x\ln a}$

Czyli dla $a=e,{(\ln x)}\prime=\frac{1}{x}\quad$

Nazwa "logarytm Nepera" pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do $\frac{1}{e}$ .

Inna definicja logarytmu naturalnego, podana przez Felixa Kleina, wychodzi właśnie od powyższego wzoru na pochodną funkcji logarytmicznej. Mianowicie, dla $x > 0$ określa się:

$\ln x = \int\limits_{1}^{x} \frac{1}{t}\ \mathrm{d}t$

[edytuj] Logarytm jako granica

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

$\ln a=\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}$

[edytuj] Dowód

Oznaczmy:

$a^x - 1 = \frac{1}{z}$

(1)

Wtedy $a^x = \frac{1}{z} + 1$ . Logarytmując obustronnie przy podstawie e otrzymujemy:

$x \ln a = \ln{(1+\frac{1}{z})}$

$\frac{1}{x} = \frac{\ln a}{\ln{(1+\frac{1}{z})}}$

Mnożąc obustronnie przez (1) otrzymujemy:

$\frac{a^x-1}{x} = \frac{\ln a}{z \ln{(1+\frac{1}{z})}} = \frac{\ln a}{\ln{(1+\frac{1}{z})^z}}$

Teraz należy wykazać, że przy $x \to 0$ mianownik dąży do jednego. Otóż:

$z = \frac{1}{a^x - 1}$

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem, wobec ciągłości logarytmu:

$\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x} = \frac{\ln a}{\ln\lim\limits_{z \to \infty}(1+\frac{1}{z})^z}$

Granica w mianowniku dąży do e, więc mianownik dąży do $\ln e=\log_e e = 1\;$ , co było do okazania.

[edytuj] Własności

$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\;$ dla $x,y>0\;$
$\ln(x)<\ln(y)\;$ dla $0<x<y\;$
$\frac{h}{1+h} \leq \ln(1+h) \leq h$ dla $h > - 1$

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję $\ln:(0,\infty)\to\mathbb R$

$\ln\left( \frac{x}{y}\right) =\ln(x)-\ln(y)\;$ dla $x,y>0\;$
Jeśli ciąg $c_n\to 0,c_n>-1,c_n\ne0$ , to:

$\frac{\ln(1+c_n)}{c_n}\to1$

$\ln e^{x} = x\$ ,
$e ln x = x$ dla $x > 0$ ,
$\ln x\ = \ln 10\cdot \log x\ \approx 2,303\ \log x\$
$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$
$\int \frac{f^\prime (x)}{f(x)}dx=\ln |f(x) |+C$

[edytuj] Rozwinięcie w szereg Maclaurina

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ dla $-1<x\leqslant 1$

$\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n = (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots$ dla $0<x\leqslant 2$