Logarytm

Z Wikipedii

Wykres logarytmu dziesiętnego

Logarytm – wykładnik potęgi $c$ , do której należy podnieść dodatnią podstawę logarytmu $a$ różną od jedynki, aby otrzymać dodatnią liczbę logarytmowaną $b$ . Symbolicznie:

$\log_a b = c \iff a^c=b$ ,

gdzie $a > 0$ , $a\neq 1$ oraz $b > 0$ .

Na przykład $log 2 8 = 3$ , ponieważ $23 = 8$ .

Spis treści

1 Rodzaje i zapis
2 Funkcja logarytmiczna
3 Uogólnienia i kologarytm
- 3.1 Logarytm dyskretny
- 3.2 Logarytm zespolony
4 Własności
5 Zastosowania
6 Zobacz też
7 Przypisy

[edytuj] Rodzaje i zapis

Zapis bez indeksu $log x$ oznacza zwykle logarytm dziesiętny, czyli mający u swej podstawy liczbę 10, czyli $l o g 10 x$ . W różnych dziedzinach może jednak oznaczać równie dobrze:

logarytm dziesiętny (Briggsa), $log 10 x$ ,
logarytm naturalny (Nepera) ^[1], $log e x$ oznaczany $ln x$ , (zob. podstawa logarytmu naturalnego),
logarytm binarny (dwójkowy), $log 2 x$ ,

Ponieważ funkcje logarytmiczne o różnych podstawach różnią się o stałą: $log a (x) = log b x log a b$ (zob. własności logarytmów), więc podstawa logarytmu może nie być istotna (o ile tylko jest liczbą większą od 1). Tak jest na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie asymptotycznym.

[edytuj] Funkcja logarytmiczna

Zobacz więcej w osobnym artykule: funkcja logarytmiczna.

Często logarytm utożsamia się z funkcją logarytmiczną określoną wzorem $l (x) = log a x$ przy ustalonej podstawie $a$ .

Można ją zdefiniować także jako funkcję odwrotną funkcji wykładniczej.

[edytuj] Uogólnienia i kologarytm

Definicję można rozszerzyć również na liczby ujemne, a nawet zespolone, ale wtedy logarytm nie będzie określony jednoznacznie.

Liczbę przeciwną do logarytmu z $x$ nazywało się niegdyś kologarytmem $x$ i oznaczało $\operatorname{clg} x$ lub $\operatorname{colog} x$ . Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu $- log x$ . Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

[edytuj] Logarytm dyskretny

Zobacz więcej w osobnym artykule: Logarytm dyskretny.

Logarytm dyskretny elementu b (przy podstawie a) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita c, że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

a c = b

[edytuj] Logarytm zespolony

Zobacz więcej w osobnym artykule: Logarytm zespolony.

Funkcję logarytm można uogólnić na liczby zespolone. Mając różną od zera liczbę zespoloną i jej współrzędne biegunowe $z = r (cosφ + i sinφ)$ ,

$\log(z) = \ln(r) + i(\phi + 2 k \pi) \,$ ,

gdzie $k$ jest pewną liczbą całkowitą, a $ln(r)$ zwykłym logarytmem naturalnym.

Posługując się pojęciami modułu i argumentu liczby zespolonej powyższy wzór można zapisać jako:

$\log(z) = \ln(|z|) + i \textrm{arg}(z) \,$ ,

Ponieważ logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony definiujemy też logarytm główny:

$\textrm{Ln}(z) = \ln(|z|) + \textrm{Arg}(z) \,$ ,

gdzie $Arg(z)$ oznacza argument główny $z$ , a więc taki argument $\phi \in \textrm{arg}(z)$ , że $-\pi < \phi \leq \pi$ .

[edytuj] Własności

Z definicji natychmiast wynikają:

$a^{\log_a b} = b$ ,

log a 1 = 0

log a a = 1

Z własności potęgi mamy również:

$\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$ ,

stąd też

$\log_a \tfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$ ,

oraz

$\log_a b^c = c\cdot \log_a b$ ,

$\log_a \sqrt[n]{x^c} = \tfrac{c}{n} \log_a x$ ,

i wreszcie

$\log_{a^n} b= \tfrac{1}{n} \log_a b$ ,

$\log_a b = \tfrac{1}{\log_b a}$ ,

a więc

$\log_a x \cdot \log_x a = 1$ ,

w szczególności

$\ln{10} \cdot \log e =1$ .

Bardzo przydatnym wnioskiem z powyższych jest następująca równość:

$\tfrac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$

Zachodzi również:

$a^{log_g b}=b^{log_g a}$

Należy mieć na uwadze, że każda liczba dodatnia posiada logarytm rzeczywisty, ujemna z kolei zespolony (np. $ln( - 1) = π i$ , ponieważ $e π i = - 1$ , więcej w artykule o wzorze Eulera). Ponieważ potęga nie przyjmuje zera w całej swojej dziedzinie, to logarytm nie jest określony w zerze.

Jeżeli podstawa $a > 1$ , to granice

$\log_a x \to -\infty$ , gdy $x \to 0$ ,

$\log_a x \to +\infty$ , gdy $x \to +\infty$ ;

dla $0 < a < 1$ , mamy

$\log_a x \to +\infty$ , gdy $x \to 0$ ,

$\log_a x \to -\infty$ , gdy $x \to +\infty$ .

[edytuj] Zastosowania

Dawniej logarytmy były używane do szybkiego mnożenia liczb za pomocą tablic logarytmicznych (zamieniano je na łatwe dodawanie ich logarytmów). Dzisiaj, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, wyszły one właściwie z użytku podobnie jak suwak logarytmiczny.

[edytuj] Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Przypisy

↑

Nazwisko autora pisane Neper

John Napier w opublikowanym przez siebie dziele Logarithmorum canonis descriptio użył pisowni nazwiska Neper, co tłumaczy przyjętą później i stosowaną powszechnie do dzisiaj nazwę.