Macierz Grama

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Należy w nim poprawić: to jest jakieś konkretne zastosowanie! nie ma prostszych własności i zastosowań tej macierzy? por. sekcja w artykule macierz.. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Zasugerowano, aby ten artykuł zintegrować z artykułem Wyznacznik Grama.

Macierz Grama to macierz związana z liniowymi układami sterowania, która pozwala określić czy układ jest sterowalny.

[edytuj] Postać macierzy

Jak widać macierz ta jest macierzą symetryczną.

[edytuj] Twierdzenie

Warunkiem koniecznym i wystarczającym sterowalności układu liniowego jest odwracalność macierzy Grama (dla pewnego t_f > 0).

[edytuj] Wzory

Załóżmy, że układ jest niesterowalny, zatem będzie istniał taki niezerowy wektor v, że Gv = 0, a tym samym v^TGv = 0. Po wprowadzeniu wektora v^T oraz v "pod całkę" zauważamy, że zawartość całki można zapisać jako iloczyn w^Tw (). Następnie zauważamy, że:

w^Tw = | | w | | ².

Skoro G = 0, to | | w | | = 0, a tym samym w = 0. W ten sposób otrzymujemy (po dodatkowej transpozycji):

v^Te ^{− sA}B = 0.

Kolejne pochodne tego wzoru będą przedstawiały się (pomijając znak) jako:

, a po podstawieniu s = 0 otrzymamy ostatecznie iloczyn wektora v^T z macierzą Kalmana.