Macierz Kalmana

Z Wikipedii

Kryterium Kalmana (zapisane pod postacią macierzy Kalmana) – sposób badania sterowalności układu dynamicznego.

Pozwala odpowiedzieć na pytanie: "Czy można wpływać na dany układ liniowy przedstawiony jako układ równań różniczkowych?". Kryterium to stosowane jest w robotyce i stanowi pierwszy krok na drodze wyznaczenia sterowania. Jeśli nie jest spełnione, to obliczenia zostają przerwane. W przeciwnym wypadku otrzymujemy informację, że stan danego układu można dowolnie zmieniać.

[edytuj] Twierdzenie

Układ automatyki przedstawiany jest jako "czarna skrzynka", do której na wejście podawany jest sygnał sterujący, na wyjściu otrzymuje się sygnał wyjściowy, a wewnątrz panuje pewien stan. Układ taki zapisać można jako:

,

gdzie:

A – macierz stanu,

B – macierz wejść (sterowania),

C – macierz wyjść,

u – sygnał sterujący,

y – sygnał wyjściowy,

x – stan układu.

Kryterium Kalmana pozwala odpowiedzieć na pytanie czy taki układ może zmieniać dowolnie swój stan wewnętrzny, a tym samym swoje wyjście. Jednym ze sposobów rozwiązania kryterium jest skonstruowanie macierzy Kalmana, w postaci: , będącej macierzą kwadratową oraz sprawdzenie, czy wyznacznik macierzy jest równy 0.

Jeśli det(Ω) = 0 to układ jest niesterowalny, w przeciwnym przypadku jest sterowalny.

[edytuj] Przykład

Wyznacznik macierzy Ω wynosi 0, dlatego też układ ten jest niesterowalny. Podany przykład można także przedstawić w postaci układu równań:

,

.

Jak widać sygnał sterujący może wpływać jedynie na szybkość zmian x₁. Nie ma możliwości zmiany wartości x₂.

Alternatywą kryterium Kalmana jest np. kryterium Hautusa oraz warunek na odwracalność macierzy Grama.