Miara zespolona

Z Wikipedii

Miara zespolona - szczególny przypadek przeliczalnie addytywnej miary wektorowej. Przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów, określona na pewnym σ-ciele o wartościach w zbiorze liczb zespolonych. Dla miar zespolonych, podobnie jak dla miar wektorowych, definiuje się pojęcie wahania i półwahania miary zespolonej. Wszystkie twierdzenia prawdziwe dla miar wektorowych przeliczalnie addytywnych (o wartościach w przestrzeni Banacha - gdy to założenie jest potrzebne) są prawdziwe, w szczególności, dla miar zespolonych.

[edytuj] Definicja

Jeśli $\mathcal{F}$ jest σ-ciałem podzbiorów zbioru $M$ , to funkcję $\nu\colon \mathcal{F}\to \mathbb{C}$ , spełniającą warunek

$\nu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)$

dla każdego ciągu $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała $\mathfrak{M}$ , nazywamy miarą zespoloną.

[edytuj] Postać biegunowa

Jeżeli $\nu\colon \mathcal{F} \to \mathbb{C}$ jest miarą zespoloną, określoną na σ-ciele podzbiorów zbioru $M$ , to istnieje wówczas funkcja mierzalna $h$ taka, że $| h (x) | = 1$ dla $x\in M$ oraz $d ν = h d | ν |$ , gdzie $| ν |$ oznacza wahanie miary zespolonej $ν$ .

Poprzez analogię do przedstawienia liczby zespolonej w postaci iloczynu jej modułu przez liczbę o module równym $1$ , równanie to jest czasem nazywane postacią biegunową (lub rozkładem biegunowym) miary $ν$ .

[edytuj] Bibliografia

Rudin, W., Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa 1986, ISBN 83-01-05124-8

Kategoria: Miary wektorowe

We provide Linux to the World

Miara zespolona

Z Wikipedii

[edytuj] Definicja

[edytuj] Postać biegunowa

[edytuj] Bibliografia

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach