Liczby zespolone

Z Wikipedii

Liczby zespolone – elementy domknięcia algebraicznego ciała liczb rzeczywistych.

Zwykle myślimy o liczbach zespolonych jako liczbach postaci

$a + bi\,\!$ ,

gdzie $a, b$ są liczbami rzeczywistymi, zaś $i$ spełnia warunek $i 2 = - 1$ .

Liczby zespolone mogą być przedstawione jako pary liczb tworzące wektor na tzw. płaszczyźnie zespolonej

[edytuj] Postać algebraiczna (kanoniczna)

Postać $a + b i$ nazywa się postacią algebraiczną liczby zespolonej.

Występująca tu jednostka urojona $i$ spełnia z definicji równość $i 2 = - 1$ . Spotykany czasami, a pochodzący od tej równości zapis $i = \sqrt{-1}$ jest niepoprawny, gdyż istnieją dwa pierwiastki algebraiczne z liczby $- 1$ , mianowicie $i$ oraz $- i$ .

Dla liczb zespolonych postaci $z = a + b i$ mamy:

$\operatorname{re}\;z \equiv \Re z = a$ nazywane częścią rzeczywistą,
$\operatorname{im}\;z \equiv \Im z = b$ nazywane częścią urojoną.

Przykładowo liczba $7 - 5 i$ jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi $7$ , a część urojona $- 5$ . Każdą liczbę rzeczywistą można uważać za liczbę zespoloną o części urojonej równej $0$ .

Dwie liczby zespolone zapisane w postaci algebraicznej są równe, gdy odpowiednio ich części rzeczywiste i urojone są sobie równe.

Liczby postaci $z = 0 + b i$ określa się czasami mianem liczb urojonych.

[edytuj] Zapis alternatywny

W zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych itp. zapis $z = a + b i$ może okazać się mylący z powodu wykorzystywania w tych dziedzinach litery $i$ do innych celów, np. chwilowego natężenia prądu elektrycznego. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie $z = a + j b$ , w którym to $j$ oznacza jednostkę urojoną.

[edytuj] Działania

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych; należy tylko pamiętać o równości $i 2 = - 1$ :

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$ ,
$(a + bi)(c + di) = ac + (bc + ad)i + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i\,\!$ .

Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone, wystarczy pomnożyć dzielną i dzielnik przez liczbę sprzężoną do dzielnika (analogicznie do usuwania niewymierności z mianownika w wyrażeniach algebraicznych):

${a + bi \over c + di} = {(a + bi)(c - di) \over {(c + di)(c - di)}} = {(ac + bd) + (bc - ad)i \over c^2 + d^2}$

[edytuj] Płaszczyzna zespolona

Zobacz więcej w osobnym artykule: płaszczyzna zespolona.

Każdej liczbie zespolonej $z = a + b i$ możemy przyporządkować wzajemnie jednoznacznie wektor $\vec z = [a, b]$ na płaszczyźnie (zob. sekcję formalna konstrukcja), podobnie jak utożsamiamy wektory na prostej z liczbami rzeczywistymi (w obu przypadkach można utożsamiać również same punkty, gdyż wspomniane wektory zaczepia się w początku układów współrzędnych). Płaszczyznę taką określa się mianem płaszczyzny zespolonej.

Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda. Inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa.

[edytuj] Moduł

Zobacz więcej w osobnym artykule: moduł liczby zespolonej.

Zauważmy, iż długość wektora $\vec z$ jest równa z twierdzenia Pitagorasa $|\vec z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Dla liczby $z$ moduł definiujemy jako $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \geqslant 0$ . Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej spełniając przy tym definicję normy.

[edytuj] Argument

Zobacz więcej w osobnym artykule: argument liczby zespolonej.

Niech $φ$ oznacza kąt, który wektor $\vec z$ tworzy z prostą $\operatorname{Re}$ , oznaczmy go przez $\arg z$ . Jest to tzw. argument. Widać, iż $\sin \phi = \tfrac{b}{|z|}$ i $\cos \phi = \tfrac{a}{|z|}$ . Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł.

Argument liczby $z$ spełniający równość $0 \leqslant \arg z < 2\pi$ (czasami też równoważnie $-\pi < \arg z \leqslant \pi$ ) oznacza się przez $\operatorname{Arg}\ z$ i nazywa argumentem głównym (wartością główną argumentu). W ten sposób $\operatorname{Arg}$ jest już funkcją na jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla $z = 0 \iff |z| = 0$ . Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz $π$ dla ujemnych.

[edytuj] Postać trygonometryczna

Zobacz więcej w osobnym artykule: współrzędne biegunowe.

Liczba zespolona może być zatem wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt skierowany (argument):

$z = a + bi = |z|\tfrac{a}{|z|} + |z|\tfrac{b}{|z|}i = |z|(\cos \phi + i\sin \phi)$ .

Powyższą postać liczby zespolonej nazywa się postacią trygonometryczną (z powodu użycia funkcji trygonometrycznych), biegunową (jest przedstawieniem liczby zespolonej we współrzędnych biegunowych) lub geometryczną (prowadzi do geometrycznej interpretacji liczb zespolonych na płaszczyźnie). Warto zauważyć, że postać algebraiczna odpowiada współrzędnym prostokątnym.

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe, tj. $v = a + b i$ oraz $w = c + d i$ są równe, gdy

$|v| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{c^2 + d^2} = |w|$ oraz

$\operatorname{Arg}\;v = \operatorname{Arg}\;w$ .

Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste:

$\begin{cases}a = |z|\cos \phi \\ b = |z|\sin \phi \end{cases}$ .

Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane:

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ ,

$\phi = \begin{cases} \operatorname{arctg}\;\tfrac{y}{x}, & \mbox{dla } x > 0 \\ \operatorname{arctg}\;\tfrac{y}{x} + \pi, & \mbox{dla } x < 0 \mbox{ oraz } y \geqslant 0 \\ \operatorname{arctg}\;\tfrac{y}{x} - \pi, & \mbox{dla } x < 0 \mbox{ oraz } y < 0 \\ +\tfrac{\pi}{2}, & \mbox{dla } x = 0 \mbox{ oraz } y > 0 \\ -\tfrac{\pi}{2}, & \mbox{dla } x = 0 \mbox{ oraz } y < 0 \\ \mathrm{niezdefiniowane}, & \mbox{dla } x = 0 \mbox{ oraz } y = 0 \end{cases}$ .

Powyższy wzór posiada dużo przypadków, jednakże w wielu językach programowania istnieje wariant funkcji arcus tangens, często nazywany arctan2, który przetwarza je wewnętrznie. Wzór korzystający z funkcji arcus cosinus wymaga mniejszej liczby przypadków:

$\phi = \begin{cases} +\arccos \tfrac{a}{|z|}, & \mbox{dla } b \geqslant 0 \mbox{ oraz } |z| \ne 0 \\ -\arccos \tfrac{a}{|z|}, & \mbox{dla } b < 0 \\ \mathrm{niezdefiniowane}, & \mbox{dla } |z| = 0 \end{cases}$ .

[edytuj] Mnożenie

Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech

x = | x | (cosα + i sinα)

y = | y | (cosβ + i sinβ)

Wówczas iloczyn

$x \cdot y = (|x| \cos \alpha \cdot |y|\cos \beta - |x|\sin \alpha \cdot |y| \sin \beta) + (i|x|\sin \alpha \cdot |y|\cos \beta + i|x|\cos \alpha |y|\sin \beta)$ .

Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne otrzymujemy ostatecznie

$x \cdot y = |x| \cdot |y|\left(\cos (\alpha + \beta) + i\sin (\alpha + \beta)\right)$ ,

co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników oraz argument równy sumie argumentów mnożonych liczb.

Mnożenie przez $i$ można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt $\frac{\pi}{2}$ .

[edytuj] Wzór de Moivre'a

Zobacz więcej w osobnym artykule: wzór de Moivre'a.

Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości wyrażenia $(a + b i) n$ dla danego wykładnika $n$ przy warunku $i 2 = - 1$ . Mimo, że można korzystać z własności trójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.

Rozpatrzmy $z = | z | (cosφ + i sinφ)$ . Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór

z n = | z | n (cosφ + i sinφ) n = | z | n (cos n φ + i sin n φ)

Powyższy wzór jest również pomocny przy obliczaniu $n$ -tej potęgi funkcji $sin$ i $cos$ – należy wówczas obliczyć $z n$ przy $| z | = 1$ .

[edytuj] Pierwiastkowanie

Zobacz więcej w osobnym artykule: pierwiastek algebraiczny.

Wzór de Moivre'a jest prawdziwy również dla liczb wymiernych. Każda liczba zespolona $z \ne 0$ posiada $n$ różnych pierwiastków $n$ -tego stopnia:

$z_k = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \tfrac{\phi + 2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\phi + 2k\pi}{n}\right)$ , gdzie $k = 0,1, \dots, n - 1$ oraz

φ = arg(z)

[edytuj] Postać wykładnicza

Rozpatrzmy liczbę $z = | z | (cosφ + i sinφ)$ wyrażając funkcje $sin$ i $cos$ za pomocą funkcji wykładniczej (zob. wzory Eulera):

$\sin \psi = {e^{i\psi} - e^{-i\psi} \over 2i}$

$\cos \psi = {e^{i\psi} + e^{-i\psi} \over 2}$

Mamy $\cos \psi + i\sin \psi = {e^{i\psi} + e^{-i\psi} \over 2} + i{e^{i\psi} - e^{-i\psi} \over 2i} = {{e^{i\psi} + e^{-i\psi} + e^{i\psi} - e^{-i\psi}} \over 2} = e^{i\psi}$ .

Zatem ostatecznie $z = | z | (cosφ + i sinφ) = | z | e i φ$ .

Pierwiastki zespolone wyrażają się wówczas wzorem

$z_k = \sqrt[n]{|z|}\ e^{i\tfrac{\phi + 2k\pi}{n}}$ dla $k = 0,1, \dots, n - 1$ .

[edytuj] Sprzężenie

Zobacz więcej w osobnym artykule: liczba sprzężona.

Niech $z = a + b i = | z | (cosφ + i sinφ) = | z | e i φ$ . Bardzo ważną operacją jest sprzężenie liczby zespolonej, jest ona najprostsza dla liczby w postaci algebraicznej:

$\overline z = a - bi$

Działanie to powoduje odbicie wektora liczby zespolonej względem osi $O X$ płaszczyzny zespolonej. Zatem liczba w postaci trygonometrycznej zachowa moduł, lecz jej argument ulegnie zmianie na $2π - φ$ lub równoważnie – zmieni on znak na przeciwny. Skoro postać wykładnicza również zależy od modułu oraz argumentu, ta sama obserwacja dotyczy i jej. Prawdą jest też, że sprzężenie liczby rzeczywistej (liczby zespolonej o zerowej części urojonej) jest równe tej liczbie.

Sprzężenie przeprowadza izomorficznie ciało liczb zespolonych na siebie, jest zatem automorfizmem. Oprócz tożsamości jest to jedyny ciągły automorfizm tego ciała, moc zbioru nieciągłych automorfizmów wynosi zaś $2^\mathfrak c$ . Działanie sprzężenia zespolonego jest inwolucją: $\overline{(\overline z)} = z$ .

[edytuj] Relacja porządku

Choć można sztucznie wprowadzić jakiś porządek liczb zespolonych (np. porządek leksykograficzny), to jednak taka relacja nie została określona i szerzej przyjęta. Nie da się bowiem sformułować jej w taki sposób, aby w zbiorze liczb zespolonych spełniała aksjomaty ciała uporządkowanego, jak w przypadku liczb rzeczywistych. Tak więc nie da się określić, która z dwóch liczb jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać ich moduły oraz argumenty (główne), gdyż zarówno moduł jak i argument liczby zespolonej są liczbami rzeczywistymi.

[edytuj] Przykłady

Przedstawmy liczbę $u = (1, \sqrt{3})$ (zob. następna sekcja) w postaciach: algebraicznej, trygonometrycznej (biegunowej) i wykładniczej obliczając za każdym razem jej sprzężenie.

Postać algebraiczna:

$u = 1 + i\sqrt 3$ ,

$\overline u = 1 - i\sqrt 3$ .

Obliczamy

$|u| = |1 + i\sqrt 3| = \sqrt{1 + 3} = \sqrt 4 = 2$ ,

$\cos \arg u = \cos \arg\left(1 + i\sqrt 3\right) = \tfrac{1}{2}$ ,

$\sin \arg u = \sin \arg\left(1 + i\sqrt 3\right) = \tfrac{\sqrt 3}{2}$ ,

$\arg u = \arg\left(1 + i\sqrt 3\right) = \tfrac{\pi}{3}$ .

Stąd postać trygonometryczna $u$ oraz $\overline u$ to

$u = 2\left(\cos \tfrac{\pi}{3} + i\sin \tfrac{\pi}{3}\right)$ ,

$\overline u = 2\left(\cos \tfrac{5\pi}{3} + i\sin \tfrac{5\pi}{3}\right)$ ,
zaś wykładnicza

$u = 2e^\tfrac{\pi i}{3}$ ,

$\overline u = 2e^\tfrac{5\pi i}{3}$ .

[edytuj] Formalna konstrukcja

Zobacz więcej w osobnym artykule: Aksjomaty i konstrukcje liczb#Liczby zespolone.

Liczby zespolone można zdefiniować formalnie w następujący sposób:

W iloczynie kartezjańskim $\mathbb R^2$ wprowadzamy działania dodawania i mnożenia:

$(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ ,
$(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ ,

gdzie $a, b, c, d \in \mathbb R$ .

Tak określona struktura $(\mathbb R^2, +, \cdot)$ jest ciałem zwanym ciałem liczb zespolonych oznaczanym symbolem $\mathbb C$ (od ang. complex – złożony)^[1]. Liczby zespolone postaci $(a,0)$ utożsamia się zwykle z liczbami rzeczywistymi i zapisuje po prostu $a$ , dlatego kładąc $i = (0,1)$ każdą liczbę zespoloną można zapisać jako

$(a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) \overset\underset\mathrm{ozn}\ = a + bi$

[edytuj] Algebraiczna domkniętość

Ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym. Ponadto jest ono najmniejszym ciałem algebraicznie domkniętym zawierającym liczby rzeczywiste. Mówimy, że ciało liczb zespolonych jest domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych, co może poniekąd stanowić definicję tego ciała.

[edytuj] Historia

Liczby zespolone zostały wprowadzone do matematyki przez Girolama Cardana. Nadał on w szczególności liczbie $i$ nazwę jednostki urojonej, nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go za pomocniczy element w rachunku, mającym w zamierzeniu dać pierwiastki równania wielomianowego trzeciego stopnia (tzw. wzory Cardano).

Liczbami zespolonymi zajmowali się wielcy matematycy tacy jak Hamilton, czy Euler (zob. wzór Eulera). Jest to ciekawy przykład pojęcia o fundamentalnym znaczeniu dla techniki (m.in. elektrotechniki), które znalazło swoje główne zastosowanie po kilkuset latach od odkrycia. Formalne określenie zbioru liczb zespolonych jako zbioru $\mathbb R^2$ , z odpowiednio zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia, pochodzi od Hamiltona.

Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

[edytuj] Zastosowania

Liczby zespolone są dość wygodnym sposobem zapisu punktów płaszczyzny, choć ostatnimi czasy istnieje trend, aby liczby zespolone, kwaterniony, czy oktawy Cayleya zastępować odpowiednio wektorami przestrzeni $\mathbb R^2, \mathbb R^4, \mathbb R^8$ z odpowiednimi działaniami, z powodu ich względnie łatwego uogólniania na inne potęgi. Jednak użycie liczb zespolonych jest dalekie od zarzucenia: analizą euklidesowej przestrzeni dwuwymiarowej zajmuje się w ogólności tzw. analiza wielowymiarowa, zaś analizą przestrzeni zespolonej analiza zespolona.

Liczby zespolone znajdują zastosowanie m.in. w:

wyznaczaniu pierwiastków równań kwadratowych, których wyróżnik jest mniejszy od zera,
teorii fraktali,
analizie obwodów elektrycznych prądu przemiennego.

Liczby zespolone można rozumieć jako szczególny przypadek:

W zbiorze liczb zespolonych możemy wyróżnić podzbiory izomorficzne ze zbiorami:

Przypisy

↑ istnieje też nieużywane powszechnie polskie oznaczenie szkolne: $\mathbf Z$

[edytuj] Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks:
Liczby zespolone

[edytuj] Linki zewnętrzne

We provide Linux to the World