Płaszczyzna styczna

Z Wikipedii

Płaszczyzna styczna - pojęcie matematyczne mające sens w przestrzeni trójwymiarowej. Gdy dana jest funkcja trzech zmienych, np.:

$f(x,y,z)\,$

to zbiór takich punktów, w których funkcja ta przyjmuje stałą wartość (którą można oznaczyć na przykład jako c), tworzy powierzchnię opisaną równaniem:

$f(x,y,z) = c\,$

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Do weryfikacji: powyższe zdanie jest nieprawdą. To nie zawsze będzie powierzchnia

Płaszczyzna styczna do podanej wyżej powierzchni charakteryzuje się tym, że wektor leżący na takiej płaszczyźnie jest w punkcie styczności prostopadły do gradientu funkcji f(x,y,z) i fakt ten wykorzystuje się dla wyznaczenia wzoru opisującego taką płaszczyznę w dowolnym punkcie, w którym funkcja f(x,y,z) jest ciągła.

Załóżmy, że chcemy wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej w punkcie

$P_{0} \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\,$

Pomocne będzie tu wprowadzenie pojęcia tak zwanego wektora pozycji, łączącego początek układu wspórzędnych z danym punktem w przestrzeni. Taki wektor charakteryzuje się tym, że jego współrzędne są takie same jak współrzędne punktu, na który wskazuje. Wektory pozycji można oznaczyć jako WP, czyli punkt, dla którego chcemy wyznaczyć płaszczyznę styczną można opisać następującym wektorem:

$\vec{WP}_{0} \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\,$

a dowolny punkt w przestrzeni za pomocą ogólnego wektora pozycji:

$\vec{WP} \left(x,y,z\right)\,$

Ponieważ gradient funkcji f w danym punkcie jest prostopadły do płaszczyzny stycznej w tym samym punkcie, to iloczyn skalarny dowolnego wektora leżącego na płaszczyźnie stycznej oraz gradientu funkcji f jest równy zeru, co można zapisać następująco:

$\left(\vec{WP} - \vec{WP}_{0}\right) \circ \nabla f \left(P_{0}\right)= 0\,$

gdyż różnica wektorów pozycji wskazujących na dowolne punkty leżące na płaszczyźnie tworzy wektor leżący na tej płaszczyźnie.

Zatem w układzie kartezjańskim równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni opisanej rówaniem:

$f(x,y,z) = c\,$

w punkcie leżącym na tej powierzchni oznaczonym jako

$P_{0} \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\,$

może być opisane następująco:

$\frac{\partial f}{\partial x}\left(P_{0}\right)\circ\left(x-x_{0}\right) + \frac{\partial f}{\partial y}\left(P_{0}\right)\circ\left(y-y_{0}\right) + \frac{\partial f}{\partial z}\left(P_{0}\right)\circ\left(z-z_{0}\right) = 0\,$