Ortogonalność

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy ortogonalności w matematyce. Zobacz też: Ortogonalność grup ochronnych (pojęcie w chemii).

Ortogonalność (z gr. ortho – proste, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości znanego z geometrii euklidesowej na przestrzenie unitarne, takie jak np. przestrzeń euklidesowa. Szczególnym przypadkiem ortogonalności jest ortonormalność.

[edytuj] Definicja

Wektory $x, y$ przestrzeni unitarnej $X$ z iloczynem skalarnym $\langle \cdot, \cdot\rangle$ są ortogonalne, co zapisujemy $x \perp y$ , wtedy i tylko wtedy, gdy $\langle x, y\rangle = 0$

Z definicji iloczynu skalarnego wynika, że wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni unitarnej. Często zamiast o ortogonalności, zgodnie z intuicjami geometrycznymi, mówi się o prostopadłości danych wektorów, choć ostatnie spostrzeżenie rozróżnia prostopadłość od ortogonalności (punkt nie jest prostopadły do dowolnej prostej na płaszczyźnie euklidesowej, lecz jest do niej ortogonalny w sensie euklidesowego iloczynu skalarnego).

[edytuj] Funkcje ortogonalne

Ze względu na ogólność pojęcia przestrzeni liniowej, a co za tym idzie przestrzeni unitarnej, obejmującego zakresem również przestrzenie wielomianów i innych funkcji, mówi się konsekwentnie o wielomianach ortogonalnych i funkcjach ortogonalnych. Należy wówczas pamiętać względem jakiego iloczynu skalarnego rozpatrujemy ortogonalność.

[edytuj] Przykłady

Rozpatrzmy przestrzeń $L 2$ , czyli przestrzeń funkcji całkowalnych z kwadratem na przedziale $[a, b]$ , gdzie iloczyn skalarny dany jest wzorem $\langle f, g \rangle = \int\limits_a^b f(x) g(x) dx$ . Układem funkcji ortogonalnych na przedziale $[ - π,π]$ jest $\left\{ {1 \over \sqrt{2 \pi}}, {\sin nx \over \sqrt \pi}, {\cos nx \over \sqrt \pi} \right\}$ , gdzie $n \in \mathbb N$ .

Innymi przykładem może być układ funkcji $\cos x,\,\cos 2x,\,\cos 3x,\dots$ badany w teorii szeregów Fouriera. Przykładem wielomianów ortogonalnych są wielomiany Legendre'a rozpatrywane w analizie matematycznej i analizie numerycznej.