Dyskusja:Paradoks Hilberta
Z Wikipedii
Jeśli dla każdego dowolnie licznego zbioru liczb naturalnych istnieje podzbiór liczb nieparzystych, o liczności o połowę mniejszej, i zasada ta obowiązuje przy powiększaniu liczności zbioru liczb naturalnych i nieparzystych do nieskończoności, to na jakiej podstawie można twierdzić, że nieskończony zbiór liczb naturalnych ma tę samą liczność co nieskończony zbiór liczb nieparzystych. Moce zbiorów nieskończonych są również różne alef Liczność podzbioru może być równa liczności zbioru wtedy i tylko wtedy, kiedy zbiór zawiera tylko jeden podzbiór.W przypadku nieskończonego zbioru liczb naturalnych zbiór ten składa się z dwóch nieskończonych podzbiorów liczb parzystych i liczb nieparzystych. Nie może więc być mowy o równoliczności nieskończonego zbioru liczb nieparzystych i liczb naturalnych. Tadeusz Kaczorowski
Spis treści |
[edytuj] Komentarz dla mojego poprzednika
Pozwolę sobie nie zgodzić się z moim "przedmówcą". Postaram się wyprowadzić go z błędu. Po pierwsze, założenie: "Jeśli dla każdego dowolnie licznego zbioru liczb naturalnych istnieje podzbiór liczb nieparzystych, o liczności o połowę mniejszej" jest fałszywe i nieprecyzyjne. Zbiór liczb naturalny jest jeden, jedyny i niepowtarzalny w związku z tym nie można mówić o "dowolnie licznym zbiorze liczb naturalnych". Jeżeli natomiast szanownemu przedmówcy chodziło o "podzbiór liczb naturalnych" to tutaj też jest w błędzie. Przykładowo podzbiór {1, 7, 13} zbioru liczb naturalnych nie zawiera wogóle liczb parzystych.
Po drugie, i najważniejsze, istotne jest w tym wszystkim uświadomienie sobie "paradoksu intuicyjnego" który wiąże się z pojęciem mocy zbioru. Wyobraźmy sobie rodzinę indeksowaną zbiorów {An = {1, 2, ..., 2n}: n jest naturalne}. Liczność każdego zbioru z tej rodziny wynosi 2n, natomiast każdy z nich ma zawarty podzbiór składający się z liczb parzystych o liczności n. Niemniej jednak nie ma powodu by sądzić że ta własność zostanie zachowana w "sytuacji granicznej" (z taką granicą dla ciągu zbiorów też może być kłopot, ale to przemilczmy). W związku z tym nie ma nic co przeszkadzałoby sądzić że podzbiór liczb parzystych nie może być równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
Kończąc ten przydługi wywód ostatecznie odpowiem na pytanie. Definicja jest następująca: zbiory są równoliczne gdy istnieje bijekcja z jednego zbioru na drugi. W tym przypadku taką bijekcją jest funkcja określona wzorem x[n] = 2n. Jak ktoś nie wierzy niech sprawdzi, dowodu nie będe przedstawiać, aby nie przedłużać.
[edytuj] Jeszcze jeden komentarz :)
Tutaj nie mam pewności. Nie uważam się za matematyka, ale zdaje mi się, że nieskończona liczba autobusów z nieskończoną liczbą pasażerów zawiera dokładnie tyle pasażerów ile jest liczb rzeczywistych, a na pewno zbiór pasażerów nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
Żeby dokwaterować nieskończoną liczbę autobusów załadowaną nieskończoną liczbą pasażerów należałoby wykonać nieskończoną liczbę kroków omówionych w przykładzie:
"Będąc portierem w naszym nieskończonym hotelu mamy nawet jeszcze więcej możliwości. Nawet jeśli przyjedzie do nas nieskończona liczba autobusów z nieskończoną liczbą klientów w każdym z nich, to nadal możemy ich wszystkich zakwaterować dokonując kolejnego, nieco bardziej złożonego triku z zamianami pokojów: Najpierw trzeba opróżnić pokoje hotelowe z nieparzystym numerem poprzez chwilowe umieszczenie ich gości w np. autobusie nr 1. Klientów z autobusu nr 1 umieszczamy w międzyczasie w pokojach z numerami 3n, gdzie n to np. numery miejsc w autobusie (wszystkie te pokoje będą oczywiście nieparzyste, czyli już wcześniej opróżnione). Potem umieszczamy klientów z autobusu 2 w pokojach o numerach 5n. Następny autobus pójdzie do pokojów 7n. Ogólnie, będziemy umieszczali klientów kolejnych autobusów w pokojach m(n)n gdzie m(n) to kolejne liczby pierwsze."
A to już samo sprawia, że metoda jest niewłaściwa. Moim zdaniem nie ma możliwości żeby zakwaterować klientów z nieskończonej liczby autobusów z nieskończoną liczbą miejsc. Nie chcę ingerować w treść artykułu, uważam jednak, że to powinno być jak najszybciej poprawione.
Pozdrawiam
- Nie matura, lecz chęć szczera zrobi z Ciebie encyklopedystę. Tak trzymać, chłopaki! 4@ 21:04, 14 wrz 2005 (CEST)
[edytuj] Odpowiedź
"Żeby dokwaterować nieskończoną liczbę autobusów załadowaną nieskończoną liczbą pasażerów należałoby wykonać nieskończoną liczbę kroków omówionych w przykładzie: (...) A to już samo sprawia, że metoda jest niewłaściwa."
Żeby zbudować hotel z nieskończoną liczbą pokoi trzeba dysponować nieskończoną ilością cegieł. A to już samo sprawia, że nie istnieje hotel z nieskończoną liczbą pokoi.
Lecz co z tego? To jest tylko przykład jak możemy każdemu pasażerowi (siedzącemu w jednym z autobusów, w którym jest nieskończenie wiele miejsc) przypisać dokładnie jeden pokój hotelowy (bez sublokatora!). Nie ważne ile czasu zajmie przemieszczanie tych ludzi!
"(...) zdaje mi się, że nieskończona liczba autobusów z nieskończoną liczbą pasażerów zawiera dokładnie tyle pasażerów ile jest liczb rzeczywistych"
Źle ci sie zdaje. Zawiera dokładnie tyle ile jest liczb naturalnych (albo całkowitych lub wymiernych).
Jest dobrze znanym (choć nie trywialnym) faktem z teorii mocy, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze swoim kwadratem kartezjańskim. Każdemu człowiekowi podróżującemu którymś z tych autobusów możemy przypisać parę liczb określającą numer siedzenia i numer autobusu (zakładam, że każdy zajmuje tylko jedno miejsce i wszystkie miejsca są zajęte). W związku z tym widzimy, że zbiór ludzi jest równoliczny z kwadratem kartezjańskim liczb naturalnych, a co za tym idzie ze zbiorem liczb naturalnych.
I tak nie wierzę żebyś to przeczytał, ale może zostanie dla potomnych.
--Albi 01:26, 2 lis 2005 (CET)
[edytuj] A jednak
przeczytałem. Ale nie do końca jestem jeszcze przekonany. Rozejrzę się tu i ówdzie. Wiem, że ten temat pojawiał się w jednym z opowiadań Lema i w jednej książce jakiegoś rosyjskiego bodajże matematyka (tytuł zdaje się był "Opowieści o zbiorach"). Nie widzę błędów w Twoim rozumowaniu, ale coś mi mówi, że jednak nie jest tak jak mówisz. Sprawdzę i napiszę.
--kapuhy 10:51, 23 lis 2005 (CET)
- To źle, że nie jesteś do końca przekonany. Wikipedysta Albi ma bowiem rację. Zamiast wierzyć Lemowi czy "jakiemuś rosyjskiemu bodajże matematykowi" (choć prawdę mówiąc wątpię, by Lem czy jakiś rosyjski bodajże matematyk napisali coś takiego) polecam zapoznać się z jakąś dobrą książką związaną z teorią mnogości jak choćby "Wstęp do matematyki współczesnej" Heleny Rasiowej, gdzie znajdziesz łatwy i przystępny dowód między innymi takiego twierdzenia: Iloczyn kartezjański AxB zbiorów przeliczalnych A i B jest zbiorem przeliczalnym. Twierdzenie to możesz też znaleźć tutaj. Wyjaśnia ono w zasadzie wszystko. --yaevin 22:31, 2 maj 2006 (CEST)
