Pierścień Dedekinda

Z Wikipedii

Pierścień Dedekinda jest to pierścień całkowity oznaczany jako $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$ i zdefiniowany następująco $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]=\{a+i\sqrt{5}b: a,b\in{\mathbb Z}\}$ . Ciekawą własnością tego pierścienia jest to, że liczba $2\in{\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]}$ jest elementem nierozkładalnym, ale nie jest elementem pierwszym.

[edytuj] Pierścienie Dedekinda

Jeśli pierścień $R$ jest podpierścieniem pierścienia $S$ , to element $s\in S$ nazywamy całkowitym nad $R$ , gdy spełnia on warunek

$s^n + a_1 s^{n-1} + \cdots + a_{n-1} s + a_n =0$ dla pewnej liczby naturalnej

n

i elementów $a_1 ,\ldots ,a_{n-1}, a_n \in R$

(por. twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu o całkowitych współczynnikach).

Pierścieniem Dedekinda nazywamy każdy pierścień całkowity noetherowski R całkowicie domknięty (normalny: każdy element całkowity jego ciała ułamków należy do R) w którym każdy niezerowy ideał pierwszy jest ideałem maksymalnym. Równoważne sformułowanie: pierścień R jest regularny wymiaru 0.

Jeśli ciało $F$ jest skończonym rozszerzeniem ciała liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ (tzn. $F$ zawiera $\mathbb{Q}$ jako podciało i jako przestrzeń liniowa nad $\mathbb{Q}$ ma skończony wymiar), to zbiór wszystkich elementów ciała $F$ całkowitych nad $\mathbb{Z}$ jest pierścieniem Dedekinda (w szczególności pierścień $\mathbb{Z}$ jest pierścieniem Dedekinda).

Inne przykłady pierścieni Dedekinda to pierścienie funkcji regularnych na regularnych krzywych algebraicznych.

Istnieją pierścienie Dedekinda bez jednoznaczności rozkładu, np. $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ = $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$ (w pierścieniu z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest pierwszy). Jednakże każdy niezerowy ideał pierścienia Dedekinda ma jednoznaczne przedstawienie jako iloczyn ideałów maksymalnych.

Jeśli pierścień Dedekinda jest z jednoznacznością rozkładu, to jest pierścieniem ideałów głównych. Jednakże w każdym pierścieniu Dedekinda każdy ideał niezerowy ma dwuelementowy zbiór generatorów.

[edytuj] Literatura

Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, PWN 1977,
Władysław Narkiewicz, Elementary and Analitic Theory of Algebraic Numbers, PWN 1974.

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Teoria pierścieni

We provide Linux to the World

Pierścień Dedekinda

Z Wikipedii

[edytuj] Pierścienie Dedekinda

[edytuj] Literatura

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach