Prędkość grupowa

Z Wikipedii

Prędkość grupowa – wielkość opisująca rozchodzenie się fal nieharmonicznych (innych niż sinusoidalne) w sytuacji, gdy natężenie fali nie wpływa na prędkość ruchu fali.

Dla fal rozprzestrzeniających się bez zmiany kształtu impulsu falowego odpowiada prędkości rozchodzenia się impulsu i prędkości rozchodzenia się czoła fali.

Dla fal prawie harmonicznych, opisanych jako fala harmoniczna o zmieniającej się amplitudzie, prędkość rozchodzenia się grzbietów modulacji czyli prędkość grupową określa wzór:

$v_g \equiv \frac{\partial \omega}{\partial k}$

gdzie:

v_g - prędkość grupowa

ω - częstość kątowa drgań fali

k - wektor falowy

Prędkość rozchodzenia się modulacji, czyli prędkość grupowa, odpowiada prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę. Prędkość o której mowa w prawie załamania światła to też prędkość grupowa.

Pojęcie prędkość grupowa wprowadzono w celu odróżnienia od prędkości przemieszczania się grzbietów fali nazywanej prędkością fazową.

W próżni prędkość grupowa światła jest równa prędkości fazowej i jest równa prędkości światła. W ośrodkach materialnych prędkość grupowa światła jest mniejsza od prędkości światła w próżni.

W ośrodkach dyspersyjnych prędkość grupowa jest różna od prędkości fazowej.

W ośrodkach, w których amplituda fali wpływa na szybkość ruchu fali nie wprowadza się prędkości grupowej.

Pojęcia prędkości grupowej i fazowej wprowadził William Rowan Hamilton w 1839 roku.

Spis treści

1 W mechanice kwantowej
2 Wzór na prędkość grupową
3 Związek z prędkością fazową
- 3.1 Wyprowadzenie zależności
4 Zobacz też
5 Linki zewnętrzne

[edytuj] W mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej, zgodnie z hipotezą de Broglie'a, każdej cząstce odpowiada paczka fal zespolonych zwanych falami materii, dla tych fal:

$v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial (E/\hbar)}{\partial (p/\hbar)} = \frac{\partial E}{\partial p}$

gdzie: E - energia kinetyczna cząstki, p jej pęd, $\hbar$ stała Plancka. Używając mechaniki relatywistycznej, stwierdza się że:

$v_g = \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} - mc^2 \right) = \frac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}} = \frac{\gamma mvc^2}{\sqrt{{\gamma}^2m^2v^2c^2+m^2c^4}} = \frac{\gamma vc}{\sqrt{{\gamma}^2v^2+c^2}} = v$

Wynik ten oznacza, że bez względu na masę cząstki, jej prędkość i inne parametry, prędkość grupowa fali materii odpowiada prędkości ruchu cząstki, co jest zgodne z oczekiwaniami.

[edytuj] Wzór na prędkość grupową

Fala modulowana może być przedstawiona jako suma dwóch fal o różnych i niewiele różniących się częstościach. Przyjmując, że fazy początkowe obu fal są równe zero, różnica faz obu fal wynosi:

$\Delta \phi = \phi_1(z,t) - \phi_2(z,t)=(\omega_1 t - k_1 z) - (\omega_2 t - k_2 z) \,$

Fale wzmacniają się gdy mają jednakowe fazy, oznacza to że, by poruszać się z prędkością rozchodzenia się wzmocnienia trzeba poruszać się z jego prędkością, czyli dla takiej samej fazy. Oznacza to, że różniczka powyższego wyrażenia jest równa zero

$(\omega_1 dt - k_1 dz) - (\omega_2 dt - k_2 dz)=(\omega_1 -\omega_2)dt - (k_1 - k_2) dz = 0 \,$

Prędkość jest równa dz/dt, czyli:

$v_g = \frac {dz} {dt} = \frac {\omega_2 - \omega_1} {k_2 -k_1} = \frac{d\omega} {dk}$

[edytuj] Związek z prędkością fazową

Między prędkością grupową $v g$ a fazową $v p$ istnieją zależności:

$v_{\rm g} = v_{\rm p} + k \cdot \frac{dv_{\rm p}}{dk}$

lub

$v_{\rm g} = v_{\rm p} - \lambda \cdot \frac{dv_{\rm p}}{d\lambda}$

Z zależności tych wynika, że fala ulega dyspersji gdy prędkość fazowa zależy od długości fali (liczby falowej), a gdy prędkość fazowa nie zależy od długości fali, to fala nie ulega dyspersji.