Równania Friedmana

Z Wikipedii

Ten artykuł jest teraz edytowany przez wikipedystę ArchCarrier.
Prosimy nie edytować strony do czasu zniknięcia tej wiadomości. Nazwa użytkownika, który dodał tę wiadomość, jest wyświetlona na stronie historii. Jeżeli ta strona nie była edytowana od paru godzin, prosimy usunąć szablon. Założeniem tego szablonu jest zmniejszenie konfliktów edycji.

Równania Friedmana - podstawowe równania kosmologii relatywistycznej. Określają one ewolucję wszechświata przy założeniu jego przestrzennej jednorodności i izotropowości (braku wyróżnionego miejsca i kierunku). Zostały po raz pierwszy wyprowadzone przez rosyjskiego uczonego Aleksandra Friedmana w 1922 roku z równań pola Einsteina dla płynu o danym ciśnieniu p i gęstości ρ z metryką zwaną obecnie metryką Friedmana-Lemaître'a-Robertsona-Walkera.

[edytuj] Postać równań

Istnieją dwa niezależne równania Friedmana. Pierwsze z nich określa zmiany pierwszej pochodnej czynnika skali a w zależności od czasu kosmicznego t:

$H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}\,,$

gdzie H to parametr Hubble'a, G - newtonowska stała grawitacji, k - krzywizna przestrzeni, c - prędkość światła, zaś Λ - stała kosmologiczna.

Drugie z równań Friedmana, zwane również równaniem na przyspieszenie, zawiera drugą pochodną czynnika skali po czasie kosmicznym:

$\dot{H} + H^2 \equiv \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}\,.$

Parametr Hubble'a zmienia się w czasie, a jego obecna wartość, H₀, zwana jest stałą Hubble'a i pojawia się jako współczynnik proporcjonalności w prawie Hubble'a. Natomiast rosnący w czasie czynnik skali (na co wskazują obserwacje astronomiczne) oznacza ekspansję wszechświata.

Z równań Friedmana można wyeliminować ciśnienie, jeżeli zna się równanie stanu rozważanego płynu, czyli związek między jego gęstością a ciśnieniem. Natomiast wprowadzenie parametru gęstości Ω = ρ/ρ_c, gdzie ρ_c jest gęstością krytyczną, pozwala na przeformułowanie pierwszego równania Friedmana do ogólnej postaci:

$\frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_r a^{-4} + \Omega_m a^{-3} + \Omega_k a^{-2} + \Omega_{\Lambda}.$

Wielkości Ω_r, Ω_m i Ω_Λ są odpowiednio parametrami gęstości promieniowania, materii i stałej kosmologicznej, zaś Ω_k jest "parametrem krzywizny". Znajomość tych parametrów, a więc znajomość składu wszechświata, pozwala wnioskować o jego przeszłej i przyszłej ewolucji, oczywiście w przypadku, gdy spełnione jest założenie o jego jednorodności i izotropowości (lub też jest ono dobrym przybliżeniem).