Równania telegrafistów

Z Wikipedii

Równania telegrafistów(albo inaczej równania linii długiej) są to pary liniowych równań różniczkowych, które opisują zmiany zespolonej amplitudy napięcia i prądu wzdłuż linii długiej z uwzględnieniem odległości oraz czasu. Równania pochodzą od Oliviera Heavisidea który rozbudował model tego twierdzenia. Teoria dotyczy wysokoczęstotliwościowych linii długich(takich jak linie telegraficzne i częstotliwości radiowa przewodnika) ale jest również ważna dla projektowania linii przesyłowych o wysokim napięciu elektrycznym. Model najłatwiej będzie przedstawić na elementarnym odcinku dwu przewodowej linii długiej w którym ważna role gra dobrze przewodzący metal wykorzystany w kablach oraz zastosowany izolujący materiał dielektryczny do oddzielenia przewodników^[1]. Proces zmian napięcia oraz prądu w takim modelu przedstawia że wywołanie przyrostu napięcia na jednym końcu linii nie daje natychmiastowego pojawienia się takiego samego przyrostu na 2 końcu linii. Przyjmujemy zatem że propagacja zachodzi tylko w jednym wymiarze wzdłuż linii długiej.

[edytuj] Równania

Równania telegrafisty mogą być zrozumiane jako uproszczony przypadek równań Maxwella. W praktyczniejszym podejściu przyjmujemy, że przewodniki składają się z nieskończonego szeregu dwóch przewodów linii zaś każdy podstawowy element reprezentuje nieskończony krótki odcinek linii przesyłowej:

Rozprowadzony opór R przewodnika jest reprezentowany przez opornik szeregowy (wyrażony w omach na długość jednostki). ${\Omega \over M}$

Rozprowadzona indukcyjność L jest przedstawiona przez cewkę indukcyjną (henr na długość jednostki). ${H \over M}$

Pojemność C między dwoma przewodnikami jest reprezentowana przez kondensator bocznika C (farad na długość jednostki). ${F \over M}$

Przewodność czynna G dielektrycznego materiału rozdzielającego dwa przewodniki jest reprezentowana przez upływność czynną (siemens na długość jednostki). ${S \over M}$

Napięcie oraz prąd opisane są w równaniami różniczkowymi, tylko i wyłącznie przy spełnieniu następujących dwóch założeń:

U(z,t) oraz I(z,t) są harmonicznymi funkcjami czasu o przebiegu sinusoidalnymi i funkcjami czasu o pulsacji ω.

U(z)-zespolona amplituda napięcia I(z)-zespolona amplituda prądu $U=Ue^{j\omega t}~~~~~~I=Ie^{j\omega t}\,$

$A=R+j\omega L;~~~~~~ B=G+j\omega C;~~~~~~ \gamma^2=AB; \,$

Linia nie zmienia swoich wymiarów, średnicy przewodów, ich odległości oraz przenikalności izolatora otaczającego przewody.

Zespolone amplitudy prądu U(z) i I(z) jednorodnej linii długiej związane są prostymi równaniami różniczkowymi ze stałą γ,zwaną stałą propagacji. ${d^2U\over dz^2} -\gamma^2 U=0;~~~~~~{{d^2I\over dz^2} -\gamma^2 I=0;}$

Identyczne równania uzyskujemy od Maxwella dla pól E i H. Równania te zwane są równaniami falowymi.

[edytuj] Równania telegrafistów

Alternatywna notacja ma użyć R,L,C i G by podkreślić że to wartości są pochodnymi w związku do długości. Kiedy elementy R i G są bardzo małe, to ich skutki mogą być pominięte, a linia przesyłowa jest rozważona jak idealna, bezstratna, struktura. W tym przypadku, model zależy tylko od elementów L i C , uzyskujemy dzięki temu parę pierwszych równań różniczkowych, jedna funkcja opisuje napięcie elektryczne V wzdłuż kabla zaś druga właściwą pozycje x jak i t czasu:

$\frac{\partial}{\partial x} V(x,t) = -L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t)$

$\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) = -C \frac{\partial}{\partial t} V(x,t)$

Te równania mogą być połączone także do formy z dwóch dokładnych równań fali:

$\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} V = \frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} V$

$\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I = \frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I$

W przypadku stanu równowagi (równania przybierając sinusoidalną falę $E=E_{o}.e^{-j\omega ( \frac{x}{c} - t)} \,$ ) Dzięki czemu równanie redukuje nam sie do następującej postaci:

$\frac{\partial^2V(x)}{\partial x^2}+ \omega^2 LC\cdot V(x)=0$

$\frac{\partial^2I(x)}{\partial x^2} + \omega^2 LC\cdot I(x)=0$

Gdzie $ω$ jest to częstotliwość fali w równowadze

Jeśli linia ma nieskończoną długość albo gdy jest skończona ze swoją charakterystyczną impedancją, te równania wskazują na obecność fali, podróżując z prędkością $c = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Równania linii długiej czy inaczej równania telegrafistów

$- \frac{\partial u(t,x)}{\partial x} = R i(x,t) + L \frac{\partial i(t,x)}{\partial t}$

$- \frac{\partial i(t,x)}{\partial x} = G u(x,t) + C \frac{\partial u(t,x)}{\partial t}$

Rozwiązanie tego równania ma następującą postać:

$LC \frac{\partial^2 u(t,x)}{\partial t^2} + (RC+LG)\frac{\partial u(t,x)}{\partial t}+RGu(t,x) -\frac{\partial^2 u(t,x)}{\partial x^2}=0$

$LC \frac{\partial^2 i(t,x)}{\partial t^2} + (RC+LG)\frac{\partial i(t,x)}{\partial t}+RGi(t,x) -\frac{\partial^2 i(t,x)}{\partial x^2}=0$

Dla linii bezstratnej równania fali wyżej wymienionych wskazywać mogą, że są dwa rozwiązania dla wędrownej fali: jedynka do przodu i jedena do tyłu. Przejmując uproszczenie bycia bezstronny (wymagając obydwóch R=0 i' 'G=0) jako rozwiązanie mogą przedstawiać:

$V(x,t) \ = \ { f_1(\omega t - kx) + f_2(\omega t + kx)} \$