Równanie różniczkowe Bernoulliego

Z Wikipedii

Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie różniczkowe postaci:

gdzie . Dla , równanie Bernoulliego upraszcza się do równania liniowego.

[edytuj] Rozwiązanie równania

Aby rozwiązać równanie Bernoulliego należy podzielić obie strony równania przez yⁿ, otrzymujemy wtedy:

Następnie wprowadzamy pomocniczą zmienną zależną z = y^{1 − n}. Wówczas z' = (1 − n)y ^{− n}y'. Wstawiając tę zmienną i jej pochodną do powyższego równania otrzymujemy:

,

które jest równaniem liniowym niejednorodnym.

[edytuj] Przykład

Rozwiążmy następujące równanie różniczkowe:

Podzielmy obie strony równania przez , otrzymamy:

.

Wprowadźmy zmienną , zatem . Po wstawieniu nowej zmiennej do powyższego równania jest:

.

Równanie to jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym i jako takie należy je rozwiązać.

[edytuj] Zobacz też

• Równanie różniczkowe zwyczajne.