Renormalizacja

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdziesz na stronie dyskusji tego artykułu. Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Renormalizacja to określenie używane dla nazwania skomplikowanej procedury matematycznej pozwalającej na grupowanie całych zbiorów modeli fizycznych w równoważne sobie klasy.

W ramach takiej procedury, układ fizyczny, opisywany równaniami zawierającymi skomplikowane oddziaływania reprezentowane przez człony nieliniowe, może zostać sklasyfikowany do tej samej klasy, co inny układ, czasem liniowy lub ten sam układ, ale dla innych wartości tzw. stałych sprzężenia, odpowiadających za "siłę" wyrazów nieliniowych. Innymi słowy przechodzimy z jednego modelu o ustalonych wartościach parametrów w równaniach do innego modelu o innych wartościach parametrów. Technika grupy renormalizacji pozwala ocenić, kiedy takie przejście jest właściwe, oraz często pozwala uzyskać znaczne uproszczenie opisu.

Praktyczna realizacja renormalizacji jest różna w różnych dziedzinach fizyki. Wyróżnia się przy tym dwa podejścia: związane z mechaniką statystyczną i związane z teorią pola. Podejście związane z mechaniką statystyczną pozwala uniezależnić opis układu od skali zjawiska co jest owocne w opisie przejść fazowych, natomiast podejście związane z kwantową teoria pola pozwala uniezależnić przewidywania teorii od tzw. cut-off - parametru obcięcia.

[edytuj] Mechanika statystyczna

W fizyce statystycznej renormalizacja polega zwykle na usunięciu z układu nieistotnych stopni swobody (np. drgań układu o bardzo wysokich częstościach, jeśli obserwujemy układ drgający z niższą rozdzielczością czasową) przy jednoczesnym zastąpieniu ich pewnymi członami zastępującymi je w sposób średni.

Operacje te można formalnie powtarzać, zaś interesujący nas opis fizycznego układu dostajemy, gdy wykonamy nieskończenie wiele takich kroków, uzyskując tzw. punkt stały - granicę, w której kolejny krok usuwania nieistotnych stopni swobody nie zmienia sposobu opisu układu. Uważamy, ze taki opis jest właściwy, skoro bowiem usunięcie nieistotnych elementów opisu nie ma wpływu na opis, to jest to jak najbardziej pożądana sytuacja.

[edytuj] Kwantowa teoria pola

W kwantowej teorii pola renormalizacja jest procedurą pozwalającą pozbyć się nieskończonych wartości niektórych wielkości fizycznych.

Teorie związane z kwantową teorią pola dają zwykle skończone i poprawne wartości wielkości mierzalnych, takich jak prawdopodobieństwa rozpraszania cząstek czy czasy życia układów złożonych jak nukleony, o ile założy się, że wartości parametrów modelu maja nieskończone wartości. Innymi słowy np. wartość parametru q o wymiarze ładunku elektrycznego, reprezentującego ładunek powiedzmy elektronu musi mieć wartość nieskończoną, aby poprawnie opisać cząstki jądrowe i ich reakcje.

Nie jest to jednak problem fizyczny, gdyż wartości tego parametru nie jesteśmy w stanie zmierzyć. Pomiarowi podlega pewien efektywny "ładunek" Q, który jest wynikiem "oddziaływania" (w formie matematycznego sprzężenia) pomiędzy parametrem q o nieskończonej wartości i innych wielkości występujących w teorii. Owa wartość Q jest skończona i wynosi dokładnie e, czyli jest równa ładunkowi elementarnemu plus pewne poprawki wynikające z kwantowych własności próżni.

Innymi słowy: wychodzimy z teorii fizycznej zadanej przez pewien zespół parametrów (.,..,...,q,...,...,) i okazuje się, że fizycznie poprawne wyniki dostajemy gdy z parametrem q przejdziemy do granicy w nieskończoności. Jednocześnie wartości tych parametrów, które są mierzalne, okazują się uzyskiwać skończone wartości. Procedurę pozwalającą wybrać właściwą granicę i dokonać owego przejścia granicznego nazywamy właśnie renormalizacją.

Innym obrazem pozwalającym zrozumieć procedurę renormalizacji jest postepowanie pozwalające na uniezależnienie się od tzw. parametru obcięcia cutt-off.

[edytuj] Ujęcie matematyczne

Bardziej formalnie renormalizacja jest procesem działania pewnej półgrupy P, zwanej półgrupa renormalizacji, na zbiorze parametrów teorii fizycznej M= (m1,m2,m3,....,mk) tak, ze w wyniku dostaniemy nową teorię o parametrach M'= (m1',m2',m3',....,mk') co zapisujemy równianiem PM=M' gdzie P jest działaniem półgrupy renormalizacji na zespół parametrów M dające w wyniku zespół parametrów M'.

Jeśli chcemy aby operacja taka była poprawna z fizycznego punktu widzenia musimy ją rozpatrywać w punkcie stałym M* mającym znaczenie fizyczne (kroki pośrednie mogą go być pozbawione), w którym:

PM * = M *