Residuum

Z Wikipedii

Residuum - (łac. reszta) w punkcie $z 0$ funkcji holomorficznej nazywamy współczynnik z numerem -1 w rozwinięciu tej funkcji w Szereg Laurenta w punkcie $z 0$ .

Równoważna definicja: residuum w punkcie $z 0$ funkcji $f\;$ holomorficznej w otoczeniu nakłutym punktu $z 0$ nazywamy wartość:

$\mathrm{Res}(f,z_0) =\frac{1}{2\pi i} \oint\limits_\gamma f(z)\,dz$

gdzie $\gamma\;$ jest krzywą zwykłą zamkniętą dodatnio zorientowaną okrążającą punkt $z_0\;$ .

Residuum jest liczbą zespoloną opisującą zachowanie całek po konturach analitycznej funkcji f(z) wokół punktu osobliwości. Twierdzenie o residuach pomaga przy obliczaniu całek po konturach.

Rozważmy przykład całki po konturze:

$\oint\limits_C {e^z \over z^5}\,dz$

gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem ze środkiem w 0.

Obliczmy tą całkę bez używania standardowych twierdzeń o całkowaniu. Szereg Taylora dla e^z jest dobrze znany, więc wstawiamy go do całki. Otrzymamy:

$\oint\limits_C {1 \over z^5}\left(1+z+{z^2 \over 2!} + {z^3\over 3!} + {z^4 \over 4!} + {z^5 \over 5!} + {z^6 \over 6!} + \ldots\right)\,dz.$

Dołączmy składnik 1/z⁵ do szeregu, otrzymamy:

$\oint\limits_C {1 \over z^5}+{z \over z^5}+{z^2 \over 2!\;z^5} + {z^3\over 3!\;z^5} + {z^4 \over 4!\;z^5} + {z^5 \over 5!\;z^5} + {z^6 \over 6!\;z^5} + \ldots\,dz$