Szereg Laurenta
Z Wikipedii
Szereg Laurenta funkcji zespolonej f(z) to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.
Jeżeli funkcję f(z) możemy zapisać jako sumę funkcji φ(z) oraz ψ(z) takich, że można je rozwinąć w zbieżne szeregi na pewnym obszarze D:
(część regularna)
(część osobliwa)
to funkcję f(z) przedstawiamy w postaci
Reprezentację taką nazywamy szeregiem Laurenta funkcji f(z)=φ(z)+ψ(z). Część regularna jest zbieżna w kole 
, a część osobliwa na zewnątrz koła 
gdzie
Szereg Laurenta jest zbieżny w pierścieniu 
. Jeżeli funkcja f(z) jest analityczna w tym pierścieniu, to daje się przedstawić w postaci szeregu Laurenta a współczynniki 
wyrażają się, za pomocą całki krzywoliniowej wzorem
gdzie γ jest dowolną krzywą zamkniętą położoną w obszarze zbieżności i zorientowaną dodatnio względem swego wnętrza (obiegającą punkt c jednokrotnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).
[edytuj] Przykład rozwinięcia w szereg Laurenta
Korzystamy z rozwinięcia w szereg funkcji eksponencjalnej:
- =
Pierwsze 3 składniki stanowią część regularną szeregu, kolejne składają się na część osobliwą.
