Rozkład wartości osobliwych
Z Wikipedii
Rozkład według wartości osobliwych (rozkład według wartości szczególnych, dekompozycja głównych składowych, dekompozycja na wartości singularne, dekompozycja SVD, rozkład SVD, algorytm SVD (SVD - z ang. Singular Value Decomposition)) to pewien rozkład macierzy (dekompozycja) na iloczyn trzech specyficznych macierzy.
Jest to metoda matematyczna stosowana m.in. w analizie statystycznej służąca do redukcji wymiaru macierzy. Posiada wiele zastosowań np. przy przetwarzaniu obrazów i sygnałów, w robotyce i automatyce.
[edytuj] Teza
Każdą macierz rzeczywistą A można przedstawić w postaci rozkładu SVD:
gdzie
- U i V - macierze ortonormalne (są one ortogonalne czyli U − 1 = UT, V − 1 = VT oraz długość każdego wektora w macierzy jest równa 1),
- Σ - macierz diagonalna (przekątniowa), taka że Σ = diag(σi), gdzie σi - nieujemne wartości szczególne (osobliwe) macierzy A, zwyczajowo uporządkowane nierosnąco.
[edytuj] Własności
Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą, to można tak dobrać macierze U oraz V, żeby jej wszystkie wartości szczególne (osobliwe) były dodatnie. Jeżeli którakolwiek wartość szczególna macierzy jest równa 0, to macierz ta jest macierzą osobliwą.
Wartość bezwzględna wyznacznika kwadratowej macierzy A jest iloczynem jej wszystkich wartości szczególnych (osobliwych):
