Rozkład macierzy
Z Wikipedii
Do wielu zastosowań (zarówno numerycznych jak i teoretycznych) warto przedstawić daną macierz w postaci iloczynu kilku macierzy o określonych własnościach. Niektóre z poniższych rozkładów uogólniają sie na operatory liniowe.
Spis treści |
[edytuj] Diagonalizacja
Zobacz więcej w osobnym artykule: Diagonalizacja.Diagonalizacja to przedstawienie macierzy A w postaci diagonalnej czyli
gdzie
- D to macierz diagonalna składająca się z wartości własnych,
- P to macierz odwracalna składająca się z wektorów własnych odpowiadających kolejnym wartościom własnym.
Diagonalizacja działa tylko dla niektórych macierzy kwadratowych (np. symetrycznych i hermitowskich).
Macierz, którą można zdiagonalizować nazywamy macierzą diagonalizowalną.
[edytuj] Rozkład Jordana
Zobacz więcej w osobnym artykule: Postać Jordana.Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy A w postaci Jordana czyli
gdzie
- D to macierz składająca się z klatek Jordana odpowiadającym kolejnym wartością własnym,
- P to macierz macierz odwracalna; zawiera jeden wektor własny dla każdej klatki Jordana.
Jeśli macierz A jest diagonalizowalna, to jest postać Jordana jest równa postaci diagonalnej.
[edytuj] Rozkład wartości osobliwych
Zobacz więcej w osobnym artykule: Rozkład wartości osobliwych.Rozkład wartości osobliwych (nad 
) to przedstawienie macierzy A w postaci
gdzie
- Σ to macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,
- U i V to macierze ortogonalne.
Rozkład wartości osobliwych macierzy symetrycznej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.
Jeśli mamy do czynienia z macierzą nad ciałem liczb zespolonych 
, to
gdzie
- Σ to macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,
- U i V to macierze unitarne.
Zaś rozkład wartości osobliwych macierzy hermitowskiej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.
[edytuj] Rozkład LU
Zobacz więcej w osobnym artykule: Metoda LU.Rozkład LU to przedstawienie macierzy A w postaci
gdzie
- L to dolna macierz trójkątna,
- U to górna macierz trójkątna.
[edytuj] Rozkład Choleskiego
Zobacz więcej w osobnym artykule: Rozkład Choleskiego.Rozkład Choleskiego (nad ) to przedstawienie dodatniej macierzy symetrycznej A w postaci
gdzie
- L to dolna macierz trójkątna.
Rozkład Choleskiego (nad ) to przedstawienie dodatniej macierzy hermitowskiej A w postaci
gdzie
- L to dolna macierz trójkątna.
[edytuj] Rozkład biegunowy
Zobacz więcej w osobnym artykule: Rozkład biegunowy operatora.Rozkład biegunowy to przedstawienie macierzy A w postaci
gdzie
- U to częściowa izometria,
- R to macierz dodatnio określona.
