Rozwinięcie Laplace'a

Z Wikipedii

Rozwinięcie Laplace'a to twierdzenie mówiące, że dla dowolnej macierzy kwadratowej $A$ stopnia $n$ i dla dowolnego całkowitego dodatniego $i$ mniejszego lub równego $n$ zachodzi:

$|A| = \sum_{j=1}^n (a_{ij} \cdot A_{ij})$ , gdzie:

| A |

- wyznacznik macierzy

A

a i j

- element w

i

-tym wierszu i

j

-tej kolumnie

A i j

- dopełnienie algebraiczne elementu

a i j

Prawa strona powyższego wzoru nazywana jest rozwinięciem względem $i$ -tego wiersza. Można analogicznie sformułować wyznacznik poprzez rozwinięcie względem $j$ -tej kolumny.

[edytuj] Przykład

Wyznacznik dowolnego stopnia można obliczyć wprost z definicji, jednak jest to bardzo czasochłonne. Lepiej skorzystać z faktu, iż dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza/kolumny innego wiersza/kolumny lub kombinacji liniowej tychże nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem sprowadzić jak najwięcej elementów pewnego wiersza/kolumny do zera. Zastosowanie twierdzenia Laplace'a powinniśmy kontynuować do uzyskania macierzy, której wyznacznik można obliczyć wprost (drugiego, trzeciego stopnia).

Obliczmy wyznacznik następującej macierzy czwartego stopnia:

$\det A = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 7 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

Wygenerujmy jak najwięcej zer w ostatnim wierszu (z wyjątkiem np. ostatniego wyrazu): dodajmy czwartą kolumnę do pierwszej oraz trzeciej, zaś odejmijmy ją od drugiej:

$\det A = \begin{vmatrix} 0+\color{Brown} 7 & 1-\color{Brown} 7 & 2+\color{Brown} \color{Brown} 7 & \color{Brown} 7 \\ 1+\color{Brown} 4 & 2-\color{Brown} 4 & 3+\color{Brown} 4 & \color{Brown} 4 \\ 5+\color{Brown} 8 & 6-\color{Brown} 8 & 7+\color{Brown} 8 & \color{Brown} 8 \\ -1+\color{Brown} 1 & 1-\color{Brown} 1 & -1+\color{Brown} 1 & \color{Brown} 1 \end{vmatrix}\ = \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 & 7 \\ 5 & -2 & 7 & 4 \\ 13 & -2 & 15 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & {\color{blue} 1} \end{vmatrix}$

Redukujemy w ten sposób wyznacznik macierzy czwartego stopnia do iloczynu skalara, oraz wyznacznika macierzy trzeciego stopnia. Zachodzi bowiem zależność (zgodnie z podanymi wyżej wzorami):

$\det A = (-1)^{4+1} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} -6 & 9 & 7 \\ -2 & 7 & 4 \\ -2 & 15 & 8 \end{vmatrix} + (-1)^{4+2} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 7 & 9 & 7 \\ 5 & 7 & 4 \\ 13 & 15 & 8 \end{vmatrix} + (-1)^{4+3} \cdot 0 \cdot \begin{vmatrix} 7 & -6 & 7 \\ 5 & -2 & 4 \\ 13 & -2 & 8 \end{vmatrix} + (-1)^{4+4} \cdot {\color{blue} 1} \cdot \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 \\ 5 & -2 & 7 \\ 13 & -2 & 15 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 \\ 5 & -2 & 7 \\ 13 & -2 & 15 \end{vmatrix}$

Zredukujmy raz jeszcze współczynniki macierzy kolumnowo — odejmijmy pierwszą od ostatniej, następnie trzecią dodajmy do drugiej:

$\det A = (-1)^{4+4} \cdot {\color{blue} 1} \cdot \begin{vmatrix} 7 & -6 & 9 \\ 5 & -2 & 7 \\ 13 & -2 & 15 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7 & -6 & 2 \\ 5 & -2 & 2 \\ 13 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7 & {\color{red} -4} & 2 \\ 5 & 0 & 2 \\ 13 & 0 & 2 \end{vmatrix}$ .

Możemy ponownie skorzystać z twierdzenia Laplace'a:

$\det A = (-1)^{1+2} \cdot ({\color{red} -4}) \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 13 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ {\color{OliveGreen} 8} & 0 \end{vmatrix}$ .