Stan układu

Z Wikipedii

Stan układu przedstawiany jest jako wektor $x=(x_1,x_2,...,x_n) \in R^n$ i przedstawia pamięć układu. Znając stan układu oraz sterowanie jesteśmy w stanie określić stan, który osiągnie układ po zadanym czasie.

Dla układu sterowania opisanego układem równań różniczkowych przyjmuje on postać:

$x(t)=e^{tA}x(0)+\int_0^t{e^{(t-r)A}Bu(r)dr}$

[edytuj] Wyznaczenie wzoru dla układu jednowymiarowego

Wzór na stan $x (t)$ układu jednowymiarowego:

$\begin{matrix}\frac{dx}{dt} \\y\end{matrix} \begin{matrix}=\\=\end{matrix}\begin{matrix}ax\\ cx\end{matrix}\begin{matrix}+bu(t)\\, \end{matrix}$ (*)

gdzie:

u (t)

to zadane sterowanie

wyznaczamy w dwóch krokach:

1.Obliczamy rozwiązanie bez części sterującej

$\frac{dx}{dt}=ax$

Przekształcamy powyższy wzór tak, aby po jednej stronie znalazło się dx oraz x, a po drugiej stronie dt

$\frac{dx}{x}=adt$

Uzyskany wzór całkujemy obustronnie uzyskując

$\ln\frac{x}{S}=at$ (S to stała całkowania)

Na koniec pozbywamy się logarytmu naturalnego używając eksponenty dla obydwu stron równania

x (t) = S e a t

2.Uzyskany $x (t)$ podstawiamy do (*) i obliczamy pochodną x po czasie.

$\frac{dx}{dt}=ae^{at}S+e^{at}\frac{dS}{dt}=ax+bu(t)$

$\frac{dS}{dt}=bu(t)e^{-at}$

Przenosimy dt na prawą stronę i całkujemy obustronnie

$S(t)=S_0+\int_0^t{e^{-ra}bu(r)dr}$

x (0) = S 0

Na koniec wstawiamy uzyskane $S (t)$ do wzoru $x (t) = S e a t$ .

$x(t)=e^{ta}x(0)+\int_0^t{e^{(t-r)a}bu(r)dr}$

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

[edytuj] Bibliografia

T.Kaczorek, A.Dzieliński, W.Dąbrowski, R.Łopatka - Podstawy teorii sterowania. WNT 2005r. (ISBN 83-204-2967-6)

Kategorie: Artykuły wymagające dopracowania • Robotyka

We provide Linux to the World

Stan układu

Z Wikipedii

[edytuj] Wyznaczenie wzoru dla układu jednowymiarowego

[edytuj] Bibliografia

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj