Symbol Leviego-Civity

Z Wikipedii

Symbol Leviego-Civity jest tensorem antysymetrycznym, symbolem podobnym do delty Kroneckera, który jest zdefiniowany jako:

$\epsilon_{ijk} = \begin{cases} 0 & \mbox{gdy } i=j \mbox{ lub } j=k \mbox{ lub } k=i\\ 1 & \mbox{gdy } ijk \mbox{ to permutacja parzysta } (1,2,3) \\ -1 & \mbox{gdy } ijk \mbox{ to permutacja nieparzysta } (1,2,3) \\ \end{cases}$ .

Symbol ten został nazwany na cześć matematyka włoskiego Tullio Levi-Civita, choć powszechnie stosowaną nazwą symbolu Leviego-Civity jest „epsilon z trzema indeksami”. Wartym wspomnienia jest fakt, iż rachunku tensorowym stosuje się również „epsilony” z większą liczbą indeksów.

Symbol może zostać zastosowany do zapisu iloczynu wektorowego

$\vec c = \vec a \times \vec b = \epsilon_{ijk}a_{i}b_{j}\hat{e}_{k}$ .

W notacji Einsteina mamy natomiast:

$\vec a\times\vec b = a^{j}\hat e_{j}\times b^{k}\hat e_{k} =\epsilon_{ijk}\hat e^{i}a^{j}b^{k}$ ,

gdzie $\hat e^{i}$ jest i-tym wektorem bazy kontrawariantej.

Symbol ten jest pomocny przy wyprowadzaniu skomplikowanych wzorów z operatorem nabla i umożliwia uniknięcie rozpisywania wszystkiego na pochodne cząstkowe, przykładowo w układzie kartezjańskim $(\frac{\partial \hat e^i}{\partial u^j}=0)$ :

$\nabla \times (f \vec a) = \epsilon_{ijk}\hat e^{i} \frac{\partial }{\partial u^{j}}(fa^k)= \epsilon_{ijk}\hat e^{i}\frac{\partial f}{\partial u^{j}}a^k+f\epsilon_{ijk}\hat e^{i}\frac{\partial}{\partial u^{j}}a^k= (\nabla f) \times \vec a + f(\nabla \times \vec a)$

$\nabla(\vec a \times \vec b) = \hat e_{i} \frac{\partial}{\partial u^i}(\epsilon_{jkl}\hat e^j a^k b^l)= \hat e_i \hat e^j \epsilon_{jkl}\frac{\partial}{\partial u^i}(a^k b^l) = \delta_i^j\epsilon_{jkl}(\frac{\partial a^k}{\partial u^i}b^l+a^k\frac{\partial b^l}{\partial u^i})= \epsilon_{ikl}\frac{\partial a^k}{\partial u^i}b^l+\epsilon_{ikl}a^k\frac{\partial b^l}{\partial u^i}=$

$=b^l\delta^j_l\epsilon_{ikj}\frac{\partial a^k}{\partial u^i}+a^k\delta^j_k\epsilon_{ijl}\frac{\partial b^l}{\partial u^i}= b^l \hat e_l \hat e^j\epsilon_{ikj}\frac{\partial a^k}{\partial u^i}+a^k \hat e_k \hat e^j \epsilon_{ijl}\frac{\partial b^l}{\partial u^i}= b^l \hat e_l \epsilon_{jik}\hat e^j \frac{\partial}{\partial u^i}a^k - a^k \hat e_k \epsilon_{jil} \hat e^j \frac{\partial }{\partial u^i}b^l= \vec b(\nabla \times \vec a)-\vec a(\nabla \times \vec b)$

[edytuj] Przykłady

$ε 112 = 0$ , z powodu powtarzającej się wartości indeksu (wystarczy wziąć $i = 1$ oraz $j = 2$ w powyższej definicji),
$ε 123 = 1$ , gdyż $(1,2,3)$ jest parzystą permutacją $(1,2,3)$ ,
$ε 312 = 1$ , gdyż $(3,1,2)$ ,jest parzystą permutacją $(1,2,3)$ ,
$ε 213 = - 1$ , gdyż $(2,1,3)$ ,jest nieparzystą permutacją $(1,2,3)$ .