Iloczyn wektorowy

Z Wikipedii

Iloczyn wektorowy to działanie $(n - 1)$ -argumentowe na elementach $n$ -wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
- 2.1 Własności w przestrzeni trójwymiarowej
3 Interpretacja geometryczna
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $V$ będzie $n$ -wymiarową przestrzenią euklidesową o zadanej orientacji. Iloczynem wektorowym wektorów $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}\in V$ nazywamy wektor $\beta\in V$ taki, że

Jeśli $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}$ są liniowo zależne, to $β$ jest wektorem zerowym.
Jeśli $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}$ są liniowo niezależne, to

$\beta\in \mbox{lin}(\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1})^{\perp}$ (ortogonalne dopełnienie podprzestrzeni, czyli podprzestrzeń prostopadła do każdego z wektorów $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}$ ),
$\|\beta\|=\sqrt{G(\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1})}$ (pierwiastek z wyznacznika Grama),
Baza $\alpha_1,\ldots, \alpha_{n-1}, \beta$ jest zorientowana dodatnio.

Działanie to oznaczamy $\alpha_1\times\ldots\times \alpha_{n-1}$ lub $\times (\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1})$

[edytuj] Własności

Iloczyn wektorowy nie jest przemienny. Dokładniej, iloczyn wektorowy zmienia zwrot po zamianie kolejności dowolnych dwóch argumantów.
Iloczyn wektorowy danych wektorów nie zmieni się, jeśli do pewnego danego wektora dodamy dowolną wielokrotność innego danego wektora.
Iloczyn wektorowy jest pseudowektorem.

[edytuj] Własności w przestrzeni trójwymiarowej

Jeżeli $\vec{a}=[a_x,\,a_y,\,a_z]$ i $\vec{b}=[b_x,\,b_y,\,b_z]$ , to iloczyn wektorowy tych wektorów jest wyrażony następującym wzorem:

$\vec{a} \times \vec{b} = [ \begin{vmatrix} a_y & b_y \\ a_z & b_z \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_z & b_z \\ a_x & b_x \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{vmatrix} ] = [a_yb_z-a_zb_y, \,a_zb_x -a_xb_z, \,a_xb_y-a_yb_x]$

długość wektora wynikowego jest równa iloczynowi wartości obu wektorów wyjściowych pomnożonego przez sinus kąta między nimi zawartego: $|\vec{c}|=|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a},\vec{b})$ ,
otrzymany wektor (o ile jest niezerowy) jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez mnożone wektory,
zwrot ustalamy przy pomocy reguły śruby prawoskrętnej lub reguły prawej dłoni,
ściślej rzecz biorąc, iloczyn wektorowy jest pseudowektorem, ponieważ jego współrzędne transformują się przy obrotach układu współrzędnych jak współrzędne wektora, ale nie zmieniają znaku przy odbiciu osi,
i-tą składową iloczynu wektorowego $\vec a \times \vec b$ określa $ε i j k a j b k$ , gdzie $a j$ , $b k$ są składowymi wektorów $\vec a$ i $\vec b$ , a $ε i j k$ jest symbolem Leviego-Civity.

[edytuj] Interpretacja geometryczna

W przestrzeni $n$ -wymiarowej, długość wektora otrzymanego jako iloczyn wektorowy danych $n - 1$ wektorów jest równa objętości równoległościanu rozpiętego na tych wektorach (otrzymujemy wektor zerowy, gdy dane wektory nie są liniowo niezależne). Ponadto wektor wynikowy jest prostopadły do wszystkich danych wektorów i jest zorientowany tak, że baza oparta na danych wektorach i wektorze wynikowym jest dodatnio zorientowana.

W przestrzeni trójwymiarowej, długość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości pierwszego wektora i długości rzutu drugiego wektora na kierunek prostopadły do pierwszego wektora, czyli polu równoległoboku na nich rozpiętego. Wektor zerowy otrzymamy, gdy jeden z danych wektorów jest zerowy lub gdy dane wektory są równoległe.

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Algebra liniowa

We provide Linux to the World

Iloczyn wektorowy

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności

[edytuj] Własności w przestrzeni trójwymiarowej

[edytuj] Interpretacja geometryczna

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach