Szereg przemienny

Z Wikipedii

Szereg przemienny – szereg liczbowy postaci:

,

w którym:

• wszystkie wyrazy a_n są dodatnie,
  
• ciąg a_n jest malejący,
  
• , tzn. .

[edytuj] Własność: Każdy szereg przemienny jest zbieżny

Dowód. Ciąg sum częściowych s_n = a₁ − a₂ + ... + ( − 1)^{n + 1}a_n jest zbieżny, ponieważ:

• ciąg s_2n = (a₁ − a₂) + (a₃ − a₄) + ... + (a_{2n − 1} − a_2n) jest rosnący,
• ciąg s_{2n + 1} = a₁ − (a₂ − a₃) − (a₄ − a₅) − ... − (a_2n − a_{2n + 1}) jest malejący,
• oba ciągi s_2n i s_{2n + 1} są ograniczone, bo ,
• oba ciągi s_2n i s_{2n + 1} są zatem zbieżne i dążą do tej samej granicy, bo

[edytuj] Zobacz też:

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki