Szereg (matematyka)

Z Wikipedii

Szereg – uogólnienie sumy liczb.

[edytuj] Rys historyczny

Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Fakt, że istnieją szeregi nieskończone, które mają sumy skończone, był dla starożytnych paradoksem.

[edytuj] Definicja

Niech $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ będzie ciągiem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. $n$ -tą sumą częściową ciągu $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ nazywa się sumę

$s_n := \sum_{i=1}^n~a_i= a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n$ .

Granicę ciągu sum częściowych

$\lim_{n\to\infty}s_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n~a_i$

(jeśli istnieje, być może nieskończona) nazywa się sumą szeregu o wyrazie ogólnym $a n$ . Granicę tę oznacza się symbolem

$\sum_{n=1}^\infty a_n:=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n~a_i$ .

Formalnie, szereg jest parą uporządkowaną $((a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (s_n)_{n\in\mathbb{N}})$ jednak (gdy nie prowadzi to do nieścisłości) oznacza się go tak samo jak jego sumę. Jeśli suma szeregu istnieje i jest skończona, to szereg taki nazywamy zbieżnym - w przeciwnym wypadku nazywamy go rozbieżnym.

[edytuj] Oznaczenia

Oprócz przedstawionych wyżej symboli stosuje się też zapisy skrócone:

$\sum_{n \in \mathbb N}~a_n,\, \sum_{n\geqslant 1}~a_n,\,\sum_n~a_n$ ,

a nawet $\sum~a_n$ , jeżeli kontekst jest znany. Czasami, ze względów typograficznych używa się zapisu $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty a_n$ Nic nie stoi na przeszkodzie, aby indeksację rozpocząć od liczby różnej od jedynki, np. czasami wyraz ogólny szeregu ma prostszą formę przy indeksowaniu od zera.

[edytuj] Zbieżność

Tak jak przy ciągach przedstawione symbole stosuje się tak do szeregów zbieżnych jak i rozbieżnych. Należy mieć na uwadze, że suma szeregu nie jest tym samym co suma jego składników (zob. niżej szeregi zbieżne warunkowo). Ponadto, jeśli w szeregu zbieżnym zmienimy, opuścimy lub dołączymy skończoną liczbę wyrazów, to otrzymany szereg też będzie zbieżny.

[edytuj] Warunek Cauchy'ego dla szeregów

Szereg $\sum a_n$ o wyrazach rzeczywistych bądź zespolonych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall_{\varepsilon >0} \exist_{N\in\mathbb{N}} \forall_{{p,q>N\atop p>q}} |a_q+a_{q+1}+\ldots+a_p|<\varepsilon$ .

Dowód: Ponieważ $a_q+a_{q+1}+\ldots+a_p=s_p-s_{q+1}$ , zatem warunek podany w twierdzeniu jest warunkiem Cauchy'ego dla ciągu sum częściowych. Ciąg sum częściowych (a więc szereg) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego.

[edytuj] Zbieżność bezwzględna i warunkowa

Jeżeli szereg $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~|a_n|$ jest zbieżny ( $\sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right| < \infty$ ), to szereg $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n$ nazywamy zbieżnym bezwzględnie. Zbieżność bezwzględna szeregu pociąga za sobą zbieżność w zwykłym sensie.

O szeregach, które są zbieżne, lecz nie bezwzględnie mówi się, że są zbieżne warunkowo. W ich przypadku istnieje skończona granica $\scriptstyle\lim_{m\rightarrow\infty}\,\sum_{n=1}^m\,a_n$ , lecz $\scriptstyle\sum_{n=1}^\infty \left|a_n\right| = \infty$ (suma (bądź całka) wartości bezwzględnych wyrazów ciągu jest nieskończona).

Wyrazy szeregów bezwzględnie zbieżnych można przestawiać w dowolny sposób nie zmieniając przy tym sumy szeregu. Niestety, szeregi warunkowo zbieżne nie mają tak dobrych własności: twierdzenie Riemanna mówi, że przestawiając wyrazy danego szeregu zbieżnego warunkowo można otrzymać jako sumę nowego szeregu dowolną, z góry zadaną liczbę, bądź otrzymać szereg rozbieżny. Dlatego operacje na nich należy wykonywać z najwyższą uwagą.

Dla danego szeregu liczb rzeczywistych $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n$ rozważmy szeregi $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n^+$ jego składników dodatnich i $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n^-$ jego składników ujemnych. Szereg $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n$ jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są oba te szeregi- w takim wypadku jego suma jest równa $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n^++\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty~a_n^-$ . Jeżeli oba te szeregi są rozbieżne odpowiednio do $+\infty$ i $-\infty$ , to szereg może być albo zbieżny warunkowo albo rozbieżny (zobacz też twierdzenie Riemanna).

[edytuj] Kryteria

Zobacz więcej w osobnym artykule: kryteria zbieżności szeregów.

[edytuj] Działania

W niniejszym paragrafie niech $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będą ustalonymi ciągami liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

[edytuj] Dodawanie i mnożenie przez skalar

Szereg dany wzorem $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty a_n+b_n$ nazywamy sumą szeregów $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty a_n$ i $\scriptstyle{\sum}_{n=1}^\infty b_n$ . Jeżeli oba szeregi są zbieżne, to ich suma również jest szeregiem zbieżnym. Analogicznie określa się różnicę szeregów. Jeśli $c$ jest liczbą zespoloną bądź rzeczywistą, to

$c\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty ca_n$ .

Możenie szeregu przez niezerowy skalar nie wpływa na jego zbieżność.

[edytuj] Mnożenie

Iloczynem (Cauchy'ego) szeregów $\scriptstyle{\sum}_{n = 0}^\infty~a_n$ i $\scriptstyle{\sum}_{n = 0}^\infty~b_n$ nazywamy szereg $\scriptstyle{\sum}_{n=0}^\infty~c_n$ , gdzie

$c_n=\sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k$ .

Odpowiada to ustawieniu wszystkich iloczynów wyrazów $a n b n$ w tablicę:

$\begin{matrix} a_0b_0 & & a_0b_1 & & a_0b_2 & \ldots\\ & \swarrow & & \swarrow & & \\ a_1b_0 & & a_1b_1 & & a_1b_2 & \ldots\\ & \swarrow & & \swarrow & & \\ a_2b_0 & & a_2b_1 & & a_2b_2 & \ldots\\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \\ \end{matrix}$

i sumowaniu kolejno grup elementów w kierunku oznaczonym strzałkami. Jest to tzw. sposób Cauchy`ego:

$\begin{matrix} c_0&=&a_0b_0&\\ c_1&=&a_1b_0+a_0b_1&\\ c_2&=&a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2&\\ \ldots&\\ c_n&=&a_nb_0+a_{n-1}b_1+\ldots+a_0b_n.&\\ \end{matrix}$

Poniżej przedstawione są podstawowe twierdzenia dotyczące mnożenia szeregów.

[edytuj] Twierdzenie Mertensa (o mnożeniu szeregów)

Jeżeli szeregi $\sum_{k=0}^{\infty}a_n$ , $\sum_{k=0}^{\infty}b_n$ są zbieżne i co najmniej jeden z nich jest zbieżny bezwzględnie, to iloczyn Cauchy`ego $\sum_{k=0}^{\infty}c_n$ jest zbieżny oraz:

$\sum_{k=0}^{\infty}c_n=\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_n\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_n\right)$ .

[edytuj] Przykład zastosowania

Pomnożymy szereg $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ , $| x | < 1$ , przez siebie. Mamy: $c_n=\sum_{k=0}^n x^{n-k} x^k=\sum_{k=0}^n x^n=x^n\sum_{k=0}^n 1=(n+1)x^n$ .

Szereg $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ dla $| x | < 1$ jest zbieżnym szeregiem geometrycznym o sumie $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$ .

Z twierdzenia Mertensa otrzymujemy: $\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)^2=\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n$ .

A więc iloczyn szeregu $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ przez siebie wynosi $\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n=\left(\frac{1}{1-x}\right)^2$ .

[edytuj] Twierdzenie Abela

Jeśli dla dwóch zbieżnych szeregów $\sum_{k=0}^{\infty}a_n$ , $\sum_{k=0}^{\infty}b_n$ ich iloczyn Cauchy'ego jest zbieżny do pewnej liczby $C$ , to

$C=\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_n\right)\cdot\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_n\right)$

[edytuj] Szeregi funkcyjne

Zobacz więcej w osobnym artykule: szereg funkcyjny.

Szczególnie ważne dla zastosowań matematyki i jej własnych badań są rozmaite szeregi funkcyjne, w tym Fouriera i potęgowe. Okazuje się, że wiele funkcji można z dowolną dokładnością przybliżać takimi szeregami.

[edytuj] Szereg geometryczny

Zobacz więcej w osobnym artykule: szereg geometryczny.

Jeśli $a n$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ i $a_n \ne 0$ , to utworzony z jego wyrazów szereg

$a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \dots = \sum_{n=1}^\infty~a_1 q^{n-1}$

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $| q | < 1$ . Jego suma jest wtedy równa $a_1 \over 1-q$ .

[edytuj] Przykład

Dla $q = {1 \over 2}$ i $a = 1$ mamy

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \dots = \sum_{n=0}^\infty~\left({1 \over 2}\right)^n = 2$ .

[edytuj] Szereg harmoniczny

Zobacz więcej w osobnym artykule: szereg harmoniczny.

Szereg

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + \dots = \sum_{n=1}^\infty~{1 \over n}$

nazywamy harmonicznym, jest on rozbieżny.

Dowód

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + \dots + {1 \over 2^{n - 1} + 1} + \dots + {1 \over 2^n} > {1 \over 2} + {2 \over 4} + \dots + {2^{n - 1} \over 2^n} = {n \over 2}$

Ciąg po prawej stronie jest rozbieżny, czyli ten szereg też.

[edytuj] Szereg harmoniczny rzędu α

Szereg

$1 + {1 \over 4} + {1 \over 9} + {1 \over 16} + \dots = \sum_{n=1}^\infty~{1 \over n^2}$

nazywamy harmonicznym rzędu drugiego. Ogólnie szereg postaci

$\sum_{n=1}^\infty~{1 \over n^\alpha}$

nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu $α$ .

Obserwacja: Jeśli $α > 1$ to szereg harmoniczny rzędu $α$ , $\sum_{n=1}^\infty~{1 \over n^\alpha}$ , jest zbieżny.

Dowód: Dla $n\geq 1$ połóżmy $a_n = 1 + {1 \over 2^\alpha} + {1 \over 3^\alpha} + {1 \over 4^\alpha} + \dots + {1 \over n^\alpha}$ . Zauważmy, że

$a_n< 1 + {1 \over 2^\alpha} + {1 \over 3^\alpha} + \ldots+{1 \over (2k)^\alpha} + {1 \over (2k+1)^\alpha} +\ldots+ {1 \over (2n)^\alpha} + {1 \over (2n + 1)^\alpha} <$

$<1 + {2 \over 2^\alpha} + \dots + {2 \over (2k)^\alpha} + \dots + {2 \over (2n)^\alpha} =$

$=1 + {1 \over 2^{\alpha - 1}}\cdot 1 + \dots + {1 \over 2^{\alpha - 1}}\cdot {1 \over k^\alpha} + \dots + {1 \over 2^{\alpha - 1}}\cdot {1 \over n^\alpha} = 1 + {1 \over 2^{\alpha - 1}}\cdot \Big (1 + {1 \over 2^\alpha} + \dots + {1 \over n^\alpha}\Big) =$

$= 1 + {1 \over 2^{\alpha - 1}}a_n$ .

Zatem $a_n < 1 + {1 \over 2^{\alpha - 1}}a_n$ a stąd $a_n < {1 \over {1 - {1 \over 2^{\alpha - 1}}}}$ . Wykazaliśmy więc, że ciąg sum częściowych jest ograniczony z góry (i rosnący), a wobec tego rozważany szereg jest zbieżny.

[edytuj] Uogólnienia

Definicja szeregu nie musi ograniczać się do szeregów liczbowych, gdyż ciąg $(a n)$ nie musi być ciągiem liczb rzeczywistych, czy zespolonych. Dlatego też definicja ta bez zmian przenosi się na przykład na przestrzenie liniowo-topologiczne.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Zalążki sekcji artykułów • Szeregi

We provide Linux to the World