Twierdzenie Bézout
Z Wikipedii
Twierdzenie Bézout (czyt. Bezuu) to twierdzenie algebraiczne opisujące pierwiastki wielomianów. Polska nazwa twierdzenia pochodzi od imienia i nazwiska francuskiego matematyka Étienne'a Bézout. Powód nadania twierdzeniu tej nazwy nie jest znany, wiadomo jednak, że twierdzenie o podzielności wielomianu przez dwumian, nie zostało sformułowane ani udowodnione przez Bézouta i było znane już wcześniej. Nazwa ta nie jest stosowana w innych krajach, nawet we Francji.
Spis treści |
[edytuj] Treść twierdzenia
Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x − a), czyli
Ogólniej, wartość wielomianu w punkcie W(a) jest równa reszcie z dzielenia W(x) przez dwumian x − a.
[edytuj] Dowód
Jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez (x − a), to istnieje taki wielomian V(x), że 
. Jego wartość w punkcie a wynosi
.
W drugą stronę, wielomian W(x) przy dzieleniu przez wielomian stopnia n daje wielomian V(x) oraz resztę o stopniu co najwyżej n − 1. Mamy więc
,
przy czym, ponieważ (x − a) jest wielomianem stopnia pierwszego, Z(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej zerowego, czyli po prostu liczbą, którą będziemy oznaczać z.
Ponieważ wartość W(x) w punkcie a wynosi zero, to
- z = 0
więc W(x) dzieli się przez (x − a) bez reszty, zatem W(x) jest podzielne przez (x − a).
[edytuj] Przykład
Mamy wielomian W(x) = x3 − 12x2 − 42, który dzieli się przez x − 3 dając wielomian V(x) = x2 − 9x − 27 i resztę − 123. Zatem z twierdzenia Bézout wiemy, że W(3) = − 123.
