Algebra
Z Wikipedii
Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki powstały już w starożytności.
Spis treści |
[edytuj] Nazwa
Słowo algebra pochodzi z tytułu dzieła uczonego arabskiego Al Chuwarizmiego (VIII / IX wiek) Hisab al-dżabr wa'l-mukabala (O odtwarzaniu i przeciwstawianiu) dotyczącego przenoszenia wyrazów o współczynnikach ujemnych z jednej strony równania na drugą oraz skracania równań stronami. Początkowo, jak wskazuje pochodzenie jej nazwy, algebra zajmowała się rozwiązywaniem równań pierwszego i drugiego stopnia o współczynnikach liczbowych.
[edytuj] Geneza
Wraz z opublikowaniem przez matematyka włoskiego Girolamo Cardano wzorów odkrytych przez innego Włocha Nicolo Tartaglię, nazwanych później wzorami Cardana, do zakresu algebry weszły równania trzeciego i czwartego stopnia.
[edytuj] Teoria Galois
Nieudane próby znalezienia wzorów na pierwiastki równań wyższych stopni zahamowały na pewien czas rozwój algebry w tym kierunku. Dopiero odkrycie w 1832 roku przez matematyka francuskiego Évariste'a Galois warunków koniecznych i dostatecznych na istnienie takich wzorów zapoczątkowało nowy kierunek badań noszący nazwę teorii Galois (kilka lat wcześniej matematyk norweski Niels Abel wykazał, że nie istnieją ogólne wzory na pierwiastki równań stopnia wyższego niż czwarty).
W roku 1591 matematyk francuski François Viète zastąpił współczynniki liczbowe występujące w równaniach literami i wykrył pewne zależności między pierwiastkami równania (bez znajdowania dla nich wzorów), a jego współczynnikami (tak zwane wzory Viète'a). Odtąd symbole literowe, występujące dotychczas tylko w geometrii, pojawiły się w arytmetyce.
[edytuj] Rachunek literowy
Wyrażenie za pomocą liter podstawowych własności działań arytmetycznych zapoczątkowało tak zwany rachunek literowy i wpłynęło na zmianę poglądu na algebrę: z nauki o rozwiązywaniu równań przekształciła się ona w naukę o działaniach na literach (tak właśnie rozumie się obecnie algebrę w nauczaniu szkolnym). Nie jest to jeszcze całkowite oderwanie się algebry od arytmetyki, gdyż działania w tak rozumianej algebry mają wszystkie własności działań arytmetycznych, a litery zastępują liczby.
Z chwilą jednak gdy określono w matematyce działania na obiektach nieliczbowych, np. na wektorach, macierzach czy zbiorach, pojawiły się odpowiednio algebra wektorów, algebra macierzy, algebra zbiorów i inne struktury tego typu.
[edytuj] Przykłady wyrażeń algebraicznych
- 5 + c - suma,
- 4 * g – iloczyn,
- 2 * a + 4 * c – kombinacja liniowa lub iloczyn skalarny (w zależności od kontekstu),
– iloraz,- d − f – różnica,
- a2 - potęga,
- 4 * d + 5 * a + 9 * d + 5 * a = 13 * d + 10 * a – redukcja wyrazów podobnych.
[edytuj] Algebra jako obiekt
Badanie własności działań w całkowitym oderwaniu od rodzaju obiektów, na których są one określone, stanowi dalszy etap w rozwoju algebry. Klasyfikacja zbiorów ze względu na własności określonych na nich działań wyłoniła wiele działów współczesnej matematyki. Wymowny jest fakt, że jedna z tych teorii nosi nazwę teorii algebr liniowych (lub teorii algebr). Oznacza to, że algebrą został tu nazwany nie dział matematyki, lecz pewien obiekt matematyczny (przykładem algebry liniowej jest zbiór wielomianów z dodawaniem i mnożeniem wielomianów oraz mnożeniem wielomianów przez liczby).
[edytuj] Algebra ogólna
Dalszym krokiem w rozwoju algebry jest wprowadzenie pojęcia algebry ogólnej. Jest to para (A,D), gdzie A jest dowolnym zbiorem, a D zbiorem dowolnych operacji (funkcji) określonych na zbiorze A. Dział matematyki zajmujący się algebrami ogólnymi nosi nazwę algebry uniwersalnej.
[edytuj] Podział
Niektóre działy algebry to:
- algebra Boole'a
- algebra homologiczna
- algebra liniowa
- algebra topologiczna
- algebra uniwersalna
- algebra wieloliniowa
- algebraiczna K-teoria
- algebry Clifforda
- algebry Jordana
- algebry Lie i grupy Lie
- algebry z dzieleniem (ciała nieprzemienne)
- geometria algebraiczna
- monoidy i półgrupy
- prawie ciała
- równania algebraiczne
- teoria ciał
- teoria grup
- teoria kategorii
- teoria krat Birkhoffa
- teoria kodów
- teoria modułów
- teoria pierścieni
