Twierdzenie Noether

Z Wikipedii

Twierdzenie Noether dotyczy związku zasad zachowania z symetrią ciągłą. Twierdzenie Noether ma fundamentalne znaczenie w fizyce.

Twierdzenie to mówi, że każda ciągła symetria praw fizyki (czyli taka, która nie zmienia zasady wariacyjnej najmniejszego działania oraz równań ruchu opisujących układ albo innych, równoważnych tym dwom, praw fizyki), opisywana przez grupę Liego generuje tyle praw zachowania, ile jest niezależnych parametrów opisujących daną grupę Liego (lub generatorów grupy Liego).

Symetrie dyskretne mogą generować prawa zachowania (np. symetria inwersji $x \mapsto -x$ generuje zachowanie parzystości $P$ ), ale nie muszą (np. inwersja w czasie $t \mapsto -t$ nie generuje prawa zachowania).

W mechanice klasycznej obowiązują zasady zachowania energii, pędu i momentu pędu. Te trzy zasady można traktować jako konsekwencje pewnych symetrii.

Zasada zachowania energii wynika więc z niezmienniczości względem przesunięcia w czasie. Inaczej mówiąc, jeżeli w każdej chwili czasu zasada wariacyjna najmniejszego działania oraz równania ruchu opisujące układ nie zmieniają się , to energia układu w tych chwilach jest taka sama. Jeżeli natomiast układ absorbuje lub emituje energię (zmienia się wówczas zasada wariacyjna najmniejszego działania i równania ruchu) to energia układu w kolejnych chwilach czasu przyjmuje różne wartości.

Podobnie zachowanie pędu odzwierciedla niezmienniczość zasady wariacyjnej najmniejszego działania oraz równań ruchu opisujących układ względem przesunięcia. Gdy rozpatrujemy translacje w przestrzeni Minkowskiego to zasadę zachowania pędu określa się jako zachowanie tensora energii-pędu.

Zachowanie orbitalnego momentu pędu – wiąże się z niezmienniczością zasady wariacyjnej najmniejszego działania oraz równań ruchu opisujących układ względem obrotu. Jeśli obroty rozpatrujemy w przestrzeni Minkowskiego wówczas zachowany jest całkowity moment pędu, tzn. włącznie ze spinowym.

Inne zasady zachowania wiążą się również z odpowiednimi symetriami ciągłymi. Na przykład zachowanie ładunku wynika z niezmienniczości względem transformacji cechowania funkcji falowej elektronu.

$\psi(\vec x, t) \mapsto \psi'(\vec x, t)=e^{i \alpha} \psi(\vec x, t)$

Transformacje $e i α$ generowane są przez ciągły kąt $α$ , ich zbiór tworzy prostą grupę Liego jednowymiarowych macierzy unitarnych $U (1)$ . Gdy zmiana kąta w czasie i przestrzeni $\alpha(\vec x, t)$ nie zmienia podstawowych praw fizyki to lokalna grupa cechowania $U (1)$ wskazuje na istnienie fundamentalnego oddziaływania elekromagnetycznego.