Moment pędu

Z Wikipedii

Moment pędu (inaczej kręt) wielkość fizyczna opisująca ruch ciała, zwłaszcza ruch obrotowy.

Spis treści

1 Moment pędu w mechanice klasycznej
- 1.1 Ujęcie w tradycyjnej matematyce
- 1.2 W ujęciu współczesnym
2 Moment pędu w mechanice kwantowej

[edytuj] Moment pędu w mechanice klasycznej

[edytuj] Ujęcie w tradycyjnej matematyce

Zależności między siłą F, momentem siły τ, pędem p oraz momentem pędu L.

W tradycyjnej matematyce moment pędu jest wielkością wektorową (pseudowektor). Moment pędu punktu materialnego względem zadanego punktu określony jest zależnością składowych

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$

gdzie

L to moment pędu punktu materialnego,

r to wektor łączący punkt, względem którego określa się moment pędu i punkt ciała,

p to pęd punktu materialnego

$\times \,$ iloczyn wektorowy wektorów.

Powyższy wzór można wyrazić:

$L = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin\theta_{r,p}$

gdzie θ_r,p jest kątem między r i p

Dla ciała obracającego się:

$\mathbf{L}= I \mathbf{\omega}$

gdzie:

I to moment bezwładności ciała,

ω to prędkość kątowa.

[edytuj] W ujęciu współczesnym

Moment pędu punktu materialnego A o masie m względem punktu O jest definiowany jako iloczyn wektorowy wektora o początku w O a końcu w A i pędu

$L^i = (\vec{x}\times\vec{p})^i=\sum_{jk} \epsilon_{ijk}x^j p^k=m\sum_{jk} \epsilon_{ijk}x^j v^k$

Trzy składowe momentu pędu komutują w mechanice klasycznej z komutatorem zdefiniowanym jako nawiasy Poissona

[Lⁱ,L^j] =	∑	ε_ijkL^k,
	k

Moment pędu jest wielkością zachowaną (stałą ruchu), jeżeli znika jego nawias Poissona (w mechanice klasycznej) czy komutator (w mechanice kwantowej) z hamiltonianem

[H, L j] = 0.

Zachowanie momentu pędu jest konsekwencją symetrii obrotowej (grupa obrotów). Symetria ta zachowuje długość wektora (r=|x|=|x'|) (izometria). Energia kinetyczna w hamiltonianie jest zachowana, pozostaje jedynie by U(x)=U(x'). Potencjał może być tylko funkcją r, U(r), siłę która z niego wynika nazywamy siłą centralną. Dla takiej siły znika [U(r),L]=0 co w konsekwencji prowadzi do prawa zachowania momentu pędu. Zachowany moment pędu wyznacza pewien stały kierunek w przestrzeni i prostopadłą do niego stałą płaszczyznę. Konsekwencją prawa zachowania momentu pędu jest ruch na tej stałej płaszczyźnie.

Tak np. potencjał grawitacyjny Newtona proporcjonalny od 1/r jest sferycznie niezmienniczy, wynika z niego prawo zachowania momentu pędu L i ruch w płaszczyźnie prostopadłej do L, dla układu planetarnego jest to płaszczyzna ekliptyki.

W płaszczyźnie prostopadłej do wektora momentu pędu wygodnie jest wprowadzić współrzędne biegunowe ( $x^1=r \cos(\varphi)$ , $x^2=r \sin(\varphi)$ , $x 3 = z$ ). W takim układzie współrzędnych prostopadłym do płaszczyzny moment pędu ma składowe L={0,0, $L z$ } i ostatnia niezerowa składowa jest równa

$L_z=mr^2 \dot{\varphi}$

Jej stałość oznacza zachowanie prędkości polowej (drugie prawo Keplera)

$r^2 \dot{\varphi}= const$

W tym układzie wspórzędnych kwadrat prędkości $v^2=\dot{r}^2+r^2 \dot{\varphi}^2$ i energię układu fizycznego zapisac można jako

$E=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2 \dot{\varphi}^2) + U(r)=\frac{1}{2}m\dot{r}^2+U_{eff}(r)$

gdzie

$U_{eff}(r)=\frac{1}{2} \frac{L_z^2}{mr^2}+U(r)$

jest efektywnym potencjałem. Pierwsza jego część opisuje siłę odśrodkową (układ współrzędnych nie jest inercjalny) a druga część realną siłę (np. dośrodkową, np. grawitacyjną). Równowaga między tymi siłami daje stabilne orbity układu planetarnego (prawa Keplera)

[edytuj] Moment pędu w mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej operator momentu pędu jest zdefiniowany identycznie jak w mechanice klasycznej

$L^i = (\vec{x}\times\vec{p})^i=\sum_{jk} \epsilon_{ijk}x^j p^k$

teraz jednak p jest operatorem pędu

$p^i = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x^i} .$

Spełnia on takie same reguły komutacyjne jak w mechanice klasycznej, z tym, że nawiasy Poisona są zamienione na

$[A,B]_{nawias Poissona} \rightarrow \frac{1}{i\hbar}[A,B]_{komutator},$

wtedy

$[L^i,L^j]=i \hbar \sum_k \epsilon_{ijk}L^k.$

Kwadrat operatora momentu pędu

$L^2 = \sum_i L_i^2$

jest przemienny (jednocześnie mierzalny) z wszystkimi składowymi operatora momentu pędu.

$\left[L_i, L^2 \right] = 0$

W układzie o symetrii sferycznej zachodzi znikanie komutatora

$\left[L_i, H \right] = 0$ .

Konsekwencją tej symetrii jest prawo zachowania momentu pędu i jednoczesna mierzalność energii, kwadratu momentu pędu $L 2$ i jednej z jego składowych (zwykle przyjmuje się $L z$ ). We współrzędnych sferycznych operator kwadratu momentu pędu $L 2$ ma postać:

$\ L^2 = \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}$

$L_{z} = -i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi}$

Równanie własne

$L^2 | l, m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) | l, m \rang$

$L_z | l, m \rang = \hbar m | l, m \rang$

daje wartości własne ${\hbar}^2 l(l+1)$ i funkcję własne

$\lang \theta , \phi | l, m \rang = Y_{l,m}(\theta,\phi)$

jako harmoniki sferyczne. Magnetyczna liczba kwantowa m przebiega 2l+1 wartości od -l do l. Dla tych wartości widmo operatora $L 2$ jak również operatora energii H jest zdegenerowane (nie zależy od m). Następną konsekwencją symetrii w mechanice kwantowej jest degeneracja widma operatora energii.

Kategorie: Dynamika • Mechanika kwantowa • Wielkości fizyczne

We provide Linux to the World

Moment pędu

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Moment pędu w mechanice klasycznej

[edytuj] Ujęcie w tradycyjnej matematyce

[edytuj] W ujęciu współczesnym

[edytuj] Moment pędu w mechanice kwantowej

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach