Twierdzenie Picarda

Z Wikipedii

Twierdzenie Picarda – twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego. Podawane jest także jako twierdzenie Picarda–Lindelöfa lub twierdzenie Cauchy'ego-Lipschitza. Nazwa twierdzenia ma uhonorować Charlesa Picarda, a w innym wersjach także Ernsta Lindelöfa, Rudolpha Lipschitza i Augustina Cauchy'ego.

Spis treści

1 Twierdzenie
2 Uogólnienie na przestrzenie Banacha
- 2.1 Lokalny warunek Lipschitza
- 2.2 Twierdzenie Picarda
3 Bibliografia
4 Zobacz też
5 Linki zewnętrzne

[edytuj] Twierdzenie

Załóżmy, że $\Omega\subseteq {\mathbb R}\times {\mathbb R}$ jest obszarem otwartym na płaszczyźnie oraz funkcja $f:\Omega\longrightarrow {\mathbb R}$ jest ciągła na zbiorze $Ω$ i spełnia warunek Lipschitza ze względu na drugą zmienną. (Tak więc, dla pewnej stałej L mamy, że

$|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\leq L|y_1-y_2|$

ilekroć $(x,y_1),(x,y_2)\in \Omega$ .) Niech $(x_0,y_0)\in\Omega$ . Wówczas dla pewnego $δ > 0$ , zagadnienie początkowe

y' = f (x, y)

y (x 0) = y 0

ma dokładnie jedno rozwiązanie $y=\varphi(x)$ określone na przedziale $(x 0 - δ, x 0 + δ)$ .

[edytuj] Uogólnienie na przestrzenie Banacha

Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej przestrzeni Banacha.

[edytuj] Lokalny warunek Lipschitza

Niech $Y$ będzie przestrzenią unormowaną oraz $D\subseteq \mathbb{R}\times Y$ będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja $f\colon D\to Y$ spełnia lokalny warunek Lipschitza na zbiorze $D$ wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt $(x_0, u_0)\in D$ ma otoczenie, na którym $f$ spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.

[edytuj] Twierdzenie Picarda

Niech $Y$ będzie przestrzenią Banacha oraz $D\subseteq \mathbb{R}\times Y$ będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja $f\colon D\to Y$ jest ciągła oraz spełnia lokalny warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej na zbiorze $D$ , to

każde rozwiązanie równania $u^\prime=f(x,u)$ daje się przedłużyć do rozwiązania globalnego,
każde rozwiązanie globalne powyższego równania jest funkcją określoną na przedziale otwartym,
dla każdego punktu $(x_0, u_0)\in D$ istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne spełniające warunek początkowy $u (x 0) = u 0$ .