Twierdzenie Riesza

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy analizy funkcjonalnej. Zobacz też: Twierdzenie Riesza (teoria miary).

Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału, jedno z podstawowych twierdzeń i narzędzi teoretycznych w analizie funkcjonalnej.

[edytuj] Definicje wstępne

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym oznaczanym przez $\langle x,y \rangle.$ Funkcjonałem liniowym liniowym na $H$ nazywamy funkcję liniową ciągłą określoną na $H$ o wartościach w ciele liczbowym (czyli najczęściej rzeczywistych lub zespolonych). Zbiór funkcjonałów liniowych nazywamy przestrzenią dualną i oznaczamy przez $H^\star.$ Elementy przestrzeni dualnej - funkcjonały - oznaczamy tradycyjnie małymi literami z gwiazdką, np. $x^\star, y^\star$ .

[edytuj] Sformułowanie twierdzenia

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Wówczas dla każdego $y^\star\in H^\star$ istnieje dokładnie jeden taki $y\in H$ , że

$y^\star(x) = \langle x, y\rangle$

dla wszystkich $x\in H$ . Ponadto odwzorowanie $\sigma\colon H^\star\ni y^\star \mapsto y\in H$ jest wzajemnie jednoznacznym izometrycznym odwzorowaniem antyliniowym. Oznacza to, że

$σ$ jest bijekcją
$\sigma (y_1^\star+y_2^\star) = \sigma(y_1^\star)+\sigma(y_2^\star)$
$\sigma (\lambda y^\star) = {\overline \lambda} \sigma(y^\star)$
$σ$ zachowuje normę: $\|y\| = \|y^\star\|$

[edytuj] Uwaga

Dla dowolnie wybranego $y\in H$ odwzorowanie postaci $x\mapsto \langle x,y\rangle$ jest funkcjonałem liniowym, co łatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem. Twierdzenie Riesza o reprezentacji mówi, że - odwrotnie - każdy funkcjonał liniowy może być przedstawiony w tej postaci i że odpowiedniość między $H$ a $H^\star$ jest wzajemnie jednoznaczna i zachowuje normę.