Funkcjonał liniowy
Z Wikipedii
Funkcjonał liniowy (forma liniowa) – funkcjonał określony na przestrzeni liniowej, czyli przekształcenie liniowe z przestrzeni liniowej nad pewnym ciałem o wartościach w tym ciele.
[edytuj] Definicja
Niech K będzie ciałem, zaś V jest przestrzenią liniową nad K. Funkcję nazywa się funkcjonałem liniowym (formą, funkcją liniową)[1], jeśli jest ona jednorodna i addytywna, czyli dla każdego oraz zachodzi:
- f(αx) = αf(x),
- f(x + y) = f(x) + f(y).
Równoważnie f musi spełniać warunek f(αx + βy) = αf(x) + βf(y) dla każdego i .
[edytuj] Przykłady
- dane wzorem :.
- dane wzorem .
[edytuj] Przestrzeń funkcjonałów
Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K oraz będzie jej bazą. Możemy wówczas rozważać przestrzeń zwaną przestrzenią sprzężoną z V, czyli przestrzeń funkcjonałów liniowych z V do K.
Przestrzeń możemy utożsamiać z przestrzenią , gdzie ciało K traktujemy jako przestrzeń liniową nad samym sobą. Jeśli , to mówimy, że ma bazę sprzężoną z postaci , gdzie
Jeśli wymiar V jest skończony, to między przestrzenią funkcjonałów liniowych a przestrzenią macierzy o odpowiednim wymiarze istnieje izomorfizm.
Funkcjonał nazywamy ograniczonym, jeśli .
[edytuj] Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki
- funkcjonał dwuliniowy
- funkcjonał półtoraliniowy,
- przestrzeń sprzężona z przestrzenią Banacha
- twierdzenie o oddzielaniu.