Układ równań

Z Wikipedii

Układ równań – koniunkcja pewnej liczby (być może nieskończonej) równań.

Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie wartości (liczb w przypadku układu równań algebraicznych, funkcji w przypadku układu równań funkcyjnych itd.) niewiadomym, które spełniają każde z równań składowych. Innymi słowy jest to rozwiązaniem układu równań część wspólna zbiorów rozwiązań wszystkich tych równań.

Układ równań nazywa się:

sprzecznym, jeżeli nie ma on rozwiązań;
oznaczonym, jeżeli ma dokładnie jedno rozwiązanie;
nieoznaczonym, jeżeli ma więcej niż jedno rozwiązanie.

[edytuj] Historia

Rozwiązywaniem układów równań zajmowano się już ponad 3000 lat temu. Najstarsze przykłady układów równań pochodzą z glinianych tabliczek, odkrytych podczas wykopalisk archeologicznych na terenie starożytnej Babilonii. Układy te są zapisane pismem klinowym, które w niczym nie przypominają współczesnej symboliki matematycznej. Jednak metody ich rozwiązywania przez starożytnych rachmistrzów niewiele różnią się od metod stosowanych dzisiaj.

[edytuj] Układy równań liniowych

Zobacz więcej w osobnym artykule: Układ równań liniowych.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego pozwala rozstrzygnąć, czy dany układ równań ma rozwiązanie. W przypadku układu równań oznaczonych, wzory Cramera pozwalają na znalezienie ich.

W przypadku układu dwóch równań liniowych z dwoma niewiadomymi możliwe przypadki pokazuje tabela:

Nazwa układu równań	Rozwiązanie algebraiczne	Warunek i przykład	Interpretacja graficzna
Oznaczony	Rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb (x, y)	$W \not = 0$ , $\left \{ {x-y=4 \atop 2x+y=5} \right.$	Dwie proste przecinające się
Nieoznaczony	Nieskończenie wiele rozwiązań	$W = 0, ~ W_{x}=W_{y}=0$ $\left \{ {4x+5y=2 \atop 8x+10y=4} \right.$	Dwie proste pokrywające się
Sprzeczny	Brak rozwiązań	$W = 0, ~ W_{x} \not = 0$ lub $W_{y} \not = 0$ $\left \{ {x+y=3 \atop x+y=8} \right.$	Dwie różne proste równoległe