Wektor losowy

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dodania linków wewnętrznych. Jeśli możesz, dodaj je teraz.
Linki do innych haseł: hasło, hasłowy, hasłami zapisujemy jako [[hasło]], ''[[hasło]]wy'', '''[[hasło|hasłami]]'''.

Niech $Ω$ oznacza przestrzeń zdarzeń losowych, a V oznacza przestrzeń wektorową nad ciałem K. Wektorem losowym nazywamy funkcję:

$X: \Omega \to V$

Gdy:

$V = \mathbb{R}^{n}; n \in \mathbb{N}$

mamy do czynienia z rzeczywistym wektorem losowym

Gdy:

$V = \mathbb{C}^{n}; n \in \mathbb{N}$

mamy do czynienia z zespolonym wektorem losowym

Niech W(V) będzie przestrzenią wektorów losowych określonych nad przestrzenią wektorową V. Można określić następujące działania:

$+: W(V) \times W(V) \ni (X, Y) \to Z \in W(V)$

przy czym dla każdego $\omega \in \Omega$ zachodzi $Z (ω) = X (ω) + Y (ω)$

(oczywiście drugi plus oznacza "zwykle" dodawanie wektorów w przestrzeni V)

$\cdot: K \times W(V) \ni (a, X) \to Y \in W(V)$

przy czym dla każdego $\omega \in \Omega$ zachodzi $Y (ω) = a X (ω)$

Tak określone działania czynią z W(V) przestrzeń wektorową nad ciałem K.

[edytuj] Własności statystyczne

Własności statystyczne wektora losowego można opisać za pomocą funkcji (lub ogólniej dystrybucji) gęstości prawdopodobieństwa, lub dystrybuanty wektora losowego.

1. Niech:

$\leq$ oznacza częściowy porządek na przestrzeni V

$X \in W(V)$

P oznacza prawdopodobieństwo określone na przestrzeni

Ω

Dystrybuantą wektora losowego nazywamy funkcję:

$F: V \to \mathbb{R}$

określoną zależnością:

$F(v) = P(X \leq v)$

Co oznacza prawdopodobieństwo, że zmienna X przyjmie wartość mniejszą niż v. W szczególności :

$\lim\limits_{v\to\infty} F(v)=1$

$\lim\limits_{v\to-\infty} F(v)=0$

Niech:

||v|| oznacza normę określoną na przestrzeni V

Gęstością prawdopodobieństwa wektora losowego nazywamy funkcję:

$p: V \to \mathbb{R}$

określoną zależnością:

$p(v) = \lim_{||h|| \to 0} {P(v+h) - P(v) \over ||h||}$

Całka z gęstości prawdopodobieństwa określa prawdopodobieństwo zdarzenia zawartego w granicach całkowania.

Z definicji wynika następujący sposób obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia $X \in D \subset V$ :

$P(X \in D) = \int\limits_{D}{p(v)dv}$

oraz związek pomiędzy gęstością prawdopodobieństwa a dystrybuantą:

$F(v) = \int\limits_{D(v)}{p(v)dv}$

$D(v) = \{w \in V: w \leq v \}$

Wartość średnia (wartość oczekiwana) funkcji f(X) wektora losowego jest określana zależnością:

$E(f(X)) = \int\limits_{V}{vf(v)p(v)dv}$

Wartość średnia wektora losowego

$m_{X} = E(X) = \int\limits_{V}{vp(v)dv}$

[edytuj] Zespolone wektory losowe

Zbiór $\mathbb{C}^{n}$ można utożsamić ze zbiorem n-wymiarowych macierzy kolumnowych. W takiej sytuacji można zdefiniować mnożenie wektorów losowych przez macierz oraz transpozycję wektorów losowych.

Macierzą korelacji wektorów X i Y nazywamy

R X Y = E (X H Y)

Macierzą kowariancji wektorów X i Y nazywamy:

C X Y = E (X H Y)

gdzie H oznacza transpozycję Hermite'a.

Nietrudno udowodnić następujące związki:

$R_{XY} = R_{YX}^{H}$

$C_{XY} = C_{YX}^{H}$

$C_{XY} = R_{XY} - m_{X}^{H}m_{Y}$

gdzie $m X, m Y$ oznaczają wartości średnie (odpowiednio) wektorów X i Y.

Macierze $R X X, C X X$ nazywane są (odpowiednio) macierzami autokorelacji i autokowariancji wektora losowego. Są one (oczywiście) macierzami hermitowskimi.

Wektory losowe nazywamy nieskorelowanymi gdy ich macierz kowariancji jest macierzą zerową.

Wektory losowe nazywamy ortogonalnymi gdy ich macierz korelacji jest macierzą zerową. Warto zwrócić uwagę na fakt, iż definiując ortogonalność wektora losowego nie określamy iloczynu skalarnego (ortogonalność oznacza tu co innego niż w przestrzeniach unitarnych).

Wektory losowe stosuje się m.in. do analizy własności statystycznych sygnałów stochastycznych.