Przestrzeń liniowa

Z Wikipedii

Przestrzeń liniowa to zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być skalowane i dodawane.

Przestrzeń liniowa (przestrzeń wektorowa) – w matematyce zbiór obiektów (nazywanych wektorami), które mogą być, nieformalnie mówiąc, skalowane i dodawane. Formalnie przestrzeń liniowa to zbiór z określonymi dwoma działaniami - dodawaniem (wektorów) i mnożeniem (przez elementy pewnego ciała), które spełniają aksjomaty wymienione niżej. Przestrzenie liniowe to podstawowe obiekty badane w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej. Używane są niemal w całej matematyce, naukach ścisłych i inżynierii.

Naturalnymi przykładami przestrzeni liniowych są dwu- i trójwymiarowe przestrzenie euklidesowe. Wektorami w tych przestrzeniach są pary uporządkowane lub trójki liczb rzeczywistych, często reprezentowane w postaci wektorów geometrycznych, które są wielkościami posiadającymi kierunek, zwrot oraz wartość i zwykle przedstawiane są jako strzałki. Wektory te mogą być sumowane za pomocą reguły równoległoboku (dodawanie wektorów) lub mnożone przez liczby rzeczywiste (mnożenie przez skalar). Właściwości wektorów geometrycznych stanowią dobry intuicyjny model dla wektorów w bardziej abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych, które nie mają interpretacji geometrycznej. Przykładem takiej przestrzeni jest np. zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach rzeczywistych.

[edytuj] Definicja

Przestrzenią liniową (bądź wektorową) nad ciałem $K$ nazywamy strukturę algebraiczną $(V, K, +, \cdot, \mathbf{+}, \bullet)$ , w której:

$(V, \mathbf{+})$ jest grupą abelową,
$(K, +, \cdot)$ jest ciałem,

oraz działanie $\bullet\colon K \times V \to V$ , nazywane działaniem mnożenia wektora przez skalar, spełnia następujące aksjomaty:

$\forall_{\alpha, \beta \in K}\; \forall_{v \in V}\; (\alpha + \beta) \bullet v = (\alpha \bullet v) \mathbf{+} (\beta \bullet v)$ ,
$\forall_{\alpha, \beta \in K}\; \forall_{v \in V}\; (\alpha \cdot \beta) \bullet v = \alpha \bullet (\beta \bullet v)$ ,
$\forall_{\alpha \in K}\; \forall_{v, u \in V}\; \alpha \bullet (v \mathbf{+} u) = (\alpha \bullet v) \mathbf{+} (\alpha \bullet u)$ ,
$\exists_{1 \in K}\; \forall_{v \in V}\; 1 \bullet v = v$ .

W praktyce dla działania $\bullet$ używa się często symbolu $\cdot$ . Formalnie powyższe aksjomaty są aksjomatami modułu, tak więc przestrzeń liniowa może być zwięźle określona jako moduł nad ciałem. Każda przestrzeń liniowa jest modułem wolnym.

[edytuj] Podstawowe własności

Istnieje kilka właściwości, które łatwo można wyprowadzić z aksjomatów przestrzeni liniowych:

wektor zerowy $\mathbf 0 \in V$ jest wyznaczony jednoznacznie,

jeżeli $\mathbf 0_1, 0_2$ są zerami w $V$ takimi, że $\mathbf 0_1 + v = v$ oraz $\mathbf 0_2 + v = v$ , to $\mathbf 0_1 = \mathbf 0_2 = \mathbf 0$ ,
mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy,

dla dowolnego $a \in K$ jest $a\mathbf 0 = \mathbf 0$ ,
mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy,

dla każdego $v \in V$ zachodzi $0 v = \mathbf 0$ , gdzie $0$ jest elementem neutralnym dodawania w $K$ ,
żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera,

$a v = \mathbf 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ lub $v = \mathbf 0$ ,
wektor $- v$ odwrotny względem dodawania do $v$ jest wyznaczony jednoznacznie,

niech $w 1, w 2$ będą odwrotnościami $v \in V$ takimi, że $v + w _1 = \mathbf 0$ oraz $v + w _2 = \mathbf 0$ , wówczas $w 1 = w 2$ . Wektor $- v$ nazywamy przeciwnym do $v$ i definiujemy $w - v \equiv w + ({-v})$ ,
mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny,

dla każdego $v \in V$ mamy $( - 1) v = - v$ , gdzie $1$ oznacza element odwrotny względem mnożenia w $K$ .
ujemność jest całkowicie przemienna,

dla każdego $a \in K$ oraz $v \in V$ zachodzi $( - a) v = a ( - v) = - (a v)$ .

[edytuj] Podprzestrzeń liniowa i baza

Zobacz więcej w osobnych artykułach: podprzestrzeń liniowa, baza (przestrzeń liniowa).

Dla danej podprzestrzeni liniowej $V$ , niepusty podzbiór $W$ przestrzeni $V$ zamkięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią $V$ . Podprzestrzenie liniowe $V$ są samodzielnymi przestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem). Część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierający dany zbiór wektorów nazywa się jego powłoką (liniową) lub otoczką (liniową) albo że zbiór ten rozpina pewną (pod)przestrzeń; jeżeli żaden z wektorów nie może być z niej usunięty, mówi się, że zbiór jest liniowo niezależny. Liniowo niezależny zbiór, który rozpina $V$ nazywany jest bazą $V$ .

Felix Hausdorff udowodnił, na gruncie ZFC, że każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu oparty jest o lemat Kuratowskiego-Zorna. Ze słabszego od aksjomatu wyboru - lematu o istnieniu ultrafltrów w algebrach Boole'a (BPI) - wynika, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne. Jeśli $V$ jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni $V$ i oznacza $\dim V$ . Na przykład, wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej $\mathbb R^3$ , czyli $\dim \mathbb R^3$ wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru ${[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]}$ ^[1]. Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie potrafimy wskazać żadnej bazy, ale (zakładając aksjomat wyboru) wiemy, że baza istnieje.

W 1984 roku, Andreas Blass wykazał, że istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboru^[2].

[edytuj] Przykłady

Ze względu na objętość, przykłady przestrzeni liniowych zostały wydzielone jako osobny artykuł: Przykłady przestrzeni liniowych

[edytuj] Przekształcenia liniowe

Zobacz więcej w osobnym artykule: przekształcenie liniowe.

Dla danych dwóch przestrzeni liniowych $V$ oraz $W$ nad tym samym ciałem $K$ można zdefiniować przekształcenia liniowe lub "odwzorowania liniowe" z $V$ do $W$ . Są to funkcje $f\colon V \to W$ zgodne z ich strukturą, tzn. zachowujące sumy i iloczyny skalarne. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z $V$ do $W$ , oznaczany $\operatorname{Hom}_K(V, W)$ , sam stanowi przestrzeń liniową nad $K$ . Jeżeli dane są bazy $V$ i $W$ , przekształcenia liniowe można wyrazić w pojęciach składowych za pomocą macierzy.

Izomorfizm to przekształcenie liniowe $f\colon V \to W$ które jest jednocześnie bijekcją z przestrzeni V na przestrzeń W. Jeśli istnieje izomorfizm między $V$ a $W$ , to o tych przestrzeniach mówi się, że są izomorficzne; jako przestrzenie liniowe mają tę samą strukturę.

Jak wspomniano wcześniej, wymiar przestrzeni jest niezmiennikiem izomorfizmu: otóż jeśli $\{ x_i\colon\; i\in I\}$ jest bazą przestrzeni $V$ , to $\{f( x_i)\colon\; i \in I\}$ jest bazą przestrzeni $W$ . Okazuje się, że nie ma innych niezmienników izomorfizmów. Wszystkie przestrzenie $n$ -wymiarowe nad ciałem $K$ są izomorficzne, tj. izomorficzne z przestrzenią współrzędnych $K n$ . Konsekwencją tego twierdzenia jest możliwość badania przestrzeni liniowych o skończonym wymiarze metodami znalezionymi dla przestrzeni współrzędnych, znajdując uprzednio izomorfizm między nimi.

Izomorfizmy między dowolnymi przestrzeniami liniowymi wyznaczone jednoznacznie są tylko w dwóch przypadkach szczególnych: gdy $V = W = {0}$ lub gdy $V, W$ są jednowymiarowymi przestrzeniami nad ciałem dwuelementowym. Niekiedy między przestrzeniami liniowymi istnieją izomorfizmy niezależne od jakichkolwiek wyborów (np. wyborów baz). O takich izomorfizmach mówi się, że są kanoniczne bądź naturalne. Przykładem izomorfizmu kanonicznego przestrzeni, będących iloczynami tensorowymi przestrzeni, odpowiednio, $V$ i $W$ oraz $W$ i $V$ jest odwzorowanie $v \otimes w \mapsto w \otimes v ,\; v \in V,\; w \in W$ .

Przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem $K$ wraz z przekształceniami liniowymi są kategorią, a dokładniej kategorią abelową.

[edytuj] Iloczyn przestrzeni

Jeśli $V, W$ są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem $K$ , to w iloczynie kartezjańskim $V \times W$ można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej, definiując działania dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez skalar następująco:

(v 1, w 1) + (v 2, w 2) = (v 1 + v 2, w 1 + w 2)

a (v 1, w 1) = (a v 1, a w 1)

dla $( v _1, w _1), ( v _2, w _2) \in V \times W, a \in K$ .

Analogicznie określa się iloczyn przestrzeni $V_1, \dots, V_n$ .

[edytuj] Uogólnienia

Z abstrakcyjnego punktu widzenia przestrzenie liniowe są modułami nad ciałem, np. $K$ , można uprawiać dużą część algebry liniowej w oparciu o tą strukturę. Częsta praktyka utożsamiania $a v$ oraz $v a$ w przestrzeniach liniowych prowadzi do powstania $K - K$ bimodułu. W ogólności moduły nie muszą mieć baz; te które je posiadają (włączając w to wszystkie przestrzenie liniowe) nazywa się modułami wolnymi.

Rodzina przestrzeni liniowych sparametryzowana w sposób ciągły za pomocą związanej z nią przestrzeni topologicznej nazywa się wiązką wektorową.

Przestrzeń afiniczna jest zbiorem z przechodnim działaniem przestrzeni liniowej. Warto zauważyć, że przestrzeń liniowa jest przestrzenią afiniczną nad sobą, przez odwzorowanie strukturalne

$\Theta\colon V^2 \to V;\; ( a , b ) \mapsto \Theta( a , b ) =: a - b$ .

[edytuj] Dodatkowe struktury

Rozważa się często przestrzenie liniowe będące jednocześnie przestrzeniami topologicznymi. Wymaganie to zapewnia właściwie, że topologia pozwala na wprowadzenie struktury jednostajnej. Przy nieskończonym wymiarze istnieje zwykle więcej niż jedna nierównoważna topologia, która sprawia, że badanie topologicznych przestrzeni liniowych jest dużo ciekawsze niż zwykłych przestrzeni liniowych.

W przestrzeniach liniowo-topologicznych (zob. poniżej) można wprowadzić odpowiednio pojęcie zbieżności i rozważać sumy nieskończonej liczby wektorów (szeregi). Liczba ta nie musi być przeliczalna.

Badanie zbieżności ciągów elementów takich przestrzeni jest ważne także z punktu widzenia zagadnień praktycznych. Na przykład, w mechanice kwantowej, układy fizyczne definiuje się jako pewne przestrzenie Hilberta - przydatnym bywa rozwijanie elementów tych przestrzeni w (uogólniony) szereg Fouriera.

Rzeczywistą bądź zespoloną przestrzeń liniową z określonym uogólnieniem pojęcia długości wektora - normą - nazywa się przestrzenią unormowaną.
Przestrzeń liniową z określonym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzenią unitarną.
Przestrzeń unormowaną (unitarną^[3]), zupełną ze względu na metrykę generowaną przez normę, (względnie, normę pochodzącą od iloczynu skalarnego), nazywa się przestrzenią Banacha (przestrzenią Hilberta).
Przestrzeń liniową^[3] z wprowadzoną topologią^[4] – taką, że dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe^[5] – nazywa się przestrzenią liniowo-topologiczną. Wszystkie powyższe przestrzenie są szczególnymi rodzajami przestrzeni liniowo-topologicznych. Istnieje także o wiele szersza klasyfikacja tych przestrzeni.
Przestrzeń liniowa z dodatkowym dwuliniowym działaniem określającym mnożenie dwóch wektorów jest algebrą nad ciałem.
Uporządkowana przestrzeń liniowa.

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ Wektory te są liniowo niezależne
↑ Blass, Andreas. Existence of bases implies the axiom of choice. Axiomatic set theory (Boulder, Colo., 1983), 31--33, Contemp. Math., 31, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1984.
↑ ^3,0 ^3,1 nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych
↑ Zakłada się dodatkowo by przestrzeń topologiczna spełniała pierwszy aksjomat oddzielania
↑ W sensie topologii produktowej odpowiednio w: $\scriptstyle{X\times X}$ i $\scriptstyle{K\times X}$