Wielomian nierozkładalny
Z Wikipedii
Wielomian ![f \in F[t]](../../../../math/7/5/4/754b4134ad4895a155887b58a92fe866.png)
nazywamy wielomianem nierozkładalnym jeśli:
- stopień wielomianu jest większy od zera:
(ang. degree – stopień), - w każdym rozkładzie f na czynniki jeden z wielomianów–czynników ma stopień zero, tzn. jest stałą:
![\forall g,h \in F[t]\ (f = gh \implies \deg g = 0 \or \deg h = 0).](../../../../math/2/1/f/21f79f850633e211addee06999e42f49.png)
Każdy wielomian ![f \in F[t], \deg\ f \geq 1](../../../../math/7/2/7/727822b13448f7d6b2614f7a39d3d8b4.png)
jest iloczynem wielomianów nierozkładalnych i może być przedstawiony w postaci: 
gdzie 
oraz 
są nierozkładalne i unormowane (tzn. współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1). Każde dwa rozkłady powyższej postaci różnią się co najwyżej kolejnością czynników.
Jeżeli ![f \in \mathbb{Z}_p[X]](../../../../math/f/1/2/f12eb38e480f9c1399c59bca67cde433.png)
jest wielomianem nierozkładalnym stopnia r > 1 to 
a stąd jeśli f jest wielomianem nierozkładalnym to 
Jeżeli wielomian nierozkładalny dzieli wielomian 
to 
Zachodzi następująca równość: ![X^{p^d}-X = \prod_{f \in \mathbb{Z}_p[X]} f](../../../../math/4/e/d/4edabfbcf7145d5e785fdd0f507d60b9.png)
, gdzie iloczyn przebiega po wszystkich wielomianach unormowanych, nierozkładalnych w 
i stopnie tych wielomianów dzielą d.
Dla każdego d > 0 istnieje w ![\mathbb{Z}_p[X]](../../../../math/5/0/7/507e8f1d3b2d393eda0b2a9defc5c5ae.png)
wielomian nierozkładalny stopnia d.
Wielomian nierozkładalny ![g \in \mathbb{Z}_p[X]](../../../../math/a/d/5/ad581c491711bcb5b07a088702167cb1.png)
nazywamy wielomianem pierwotnym (ang. primitive).
![X \in \mathbb{Z}_p[X]_{/f}](../../../../math/c/4/8/c48c94f899cb22ad15494b7dba042fa8.png)
jest generatorem grupy multiplikatywnej tego ciała.
