Wielomian symetryczny

Z Wikipedii

Wielomian symetryczny. Wielomian $n$ zmiennych $W (x 1, x 2,..., x n)$ nazywamy wielomianem symetrycznym, jeśli po dowolnej permutacji zmiennych otrzymujemy wielomian równy wielomianowi $W (x 1, x 2,..., x n)$ .

Spis treści

1 Definicja
2 Definicja intuicyjna
3 Przykłady wielomianów symetrycznych
4 Przykłady wielomianów, które nie są symetryczne
5 Elementarne wielomiany symetryczne i twierdzenie podstawowe
6 Wielomiany symetryczne a Wzory Viète'a
7 Linki zewnętrzne

[edytuj] Definicja

Niech $\ W := W(x_1, x_2, ..., x_n)$ będzie dowolnym wielomianem $\ n$ zmiennych. Zmienne w tym wielomianie możemy podstawiać jedne za drugie za pomocą permutacji $\ \sigma$ zbioru $n$ -elementowego:

$\sigma=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & ... & x_n \\ x_{\sigma(1)} & x_{\sigma(2)} & x_{\sigma(3)} & ... & x_{\sigma(n)} \end{pmatrix}$

i otrzymać w ten sposób nowy wielomian $\ W_\sigma := W_\sigma(x_1, x_2, ..., x_n)$ . Jeżeli:

$W_\sigma = W\,$

dla dowolnej permutacji σ, to $\ \;W\;\$ nazywamy wielomianem symetrycznym.

Wielomiany stałe są symetryczne. Podobnie symetryczna jest suma, różnica oraz iloczyn dwóch wielomianów symetrycznych. Innymi słowy, wielomiany symetryczne tworzą pierścień

$S[x_1,\dots,x_n]\,$

a nawet algebrę nad ciałem (lub pierścieniem) współczynników wyjściowego pierścienia wielomianów.

[edytuj] Definicja intuicyjna

Mniej formalny opis: Wielomian $\ n$ zmiennych $\ W(x_1, x_2, ..., x_n)$ jest symetryczny, jeżeli możemy dowolnie przestawiać jego zmienne $\ x_1,x_2, ...,x_n$ , a otrzymany wielomian dla dowolnie wybranych $\ x_1,x_2, ...,x_n$ będzie przyjmował takie same wartości jak wielomian $\ W(x_1, x_2, ..., x_n)$ .

[edytuj] Przykłady wielomianów symetrycznych

Następujące wielomiany są symetryczne:

$\ W(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$

$\ W(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2x_3+x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1+x_1+x_2+x_3$

Każdy jednomian postaci $W(x_1,x_2,...,x_n)=lx_1^kx_2^k...x_n^k$ , gdzie $k\in \mathbb{N}, l\in \mathbb{R}$ jest symetryczny.

[edytuj] Przykłady wielomianów, które nie są symetryczne

Zgodnie z definicją, żeby udowodnić, że dany wielomian $\ W$ nie jest symetryczny, należy podać przykład permutacji σ, w wyniku której otrzymany wielomian $\ W_\sigma$ jest różny od wielomianu $\ W$ (zobacz: kontrprzykład).

Dla przykładu udowodnimy, że wielomian

$\ W(x_1,x_2,x_3) := x_1^2x_2 + x_1x_3^2 + x_2^2x_3$

nie jest symetryczny.

Rozważmy permutację $\ \sigma=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_2 & x_1 & x_3 \end{pmatrix}$

Otrzymujemy wielomian

$\ W_\sigma(x_1,x_2,x_3)\ =\ x_2^2x_1 + x_2x_3^2 + x_1^2x_3\ =\ x_1x_2^2 + x_1^2x_3 + x_2x_3^2$ .

Współczynnik przy $\ x_1^2x_2\$ wynosi 1 dla $\ W$ , ale 0 dla $\ W_\sigma$ . Zatem $\ W_\sigma \ne W$ , więc wielomian $\ W\$ nie jest symetryczny.

[edytuj] Elementarne wielomiany symetryczne i twierdzenie podstawowe

Elementarnymi wielomianami symetrycznymi $\ n$ zmiennych nazywamy każdy z wielomianów symetrycznych postaci

$S_1(x_1,x_2, ..., x_n)=\sum_{1 \leq i_1 \leq n}x_i$

$S_2(x_1,x_2, ..., x_n)=\sum_{1 \leq i_1<i_2 \leq n}x_{i_1} x_{i_2}$

$S_3(x_1,x_2, ..., x_n)=\sum_{1 \leq i_1<i_2<i_3 \leq n}x_{i_1} x_{i_2}x_{i_3}$

$S_4(x_1,x_2, ..., x_n)=\sum_{1 \leq i_1<i_2<i_3<i_4 \leq n}x_{i_1} x_{i_2}x_{i_3}x_{i_4}$

...

$S_n(x_1,x_2, ..., x_n)=\sum_{1 \leq i_1<i_2<...<i_n \leq n}x_{i_1} x_{i_2}... x_{i_n}$

gdzie $n\in \mathbb{N}$ .

Elementarne wielomiany symetryczne nazywane są także wielomianami symetrycznymi podstawowymi.

Jeżeli $\ W(x_1,x_2,...,x_n)$ jest dowolnym wielomianem symetrycznym, to istnieje dokładnie jeden wielomian $\ V(x_1,x_2,...,x_n)$ taki, że

$\ W(x_1,x_2,...,x_n)=V(S_(x_1,x_2,...,x_n),S_2(x_1,x_2,...,x_n),...,S_k(x_1,x_2,...x_n))$ .

Nieformalnie, oznacza to, że za pomocą sumowania, mnożenia i mnożenia przez liczbę rzeczywistą wielomianów $\ S_1,S_2,...,S_n$ można zbudować każdy wielomian symetryczny. Natomiast pełne i formnalne sformułowanie tego wyniku brzmi:

Twierdzenie Przyporządkowanie (polegające na podstawieniu)

$V(S_1,\dots,S_n) \mapsto V(S_1(x_1,\dots,x_n),\dots,S_n(x_1,\dots,X_n))$

jest izomorfizmem algebry wielomianowej $\ K[S_1,\dots,S_n]\$ na algebrę wielomianów symetrycznych $\ S_K[X_1,\dots,X_n]$ (gdzie $\ K\$ oznacza ciało współczynników).

Uwaga Po lewej stronie powyższego przyporządkowania $\ S_j\$ jest traktowane jako zmienna symboliczna, a po prawej – jako wielomian od zmiennych $\ x_1,\dots,x_n$ .

Przykłady:

$\ x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=S_1^2-2S_2$ ,

$\ 5x_1x_2+5x_1x_3+5x_2x_3=5(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=5S_2$ ,

$\ x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3(x_1^2x_2+x_1x_2^2)=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=S_1^3-3S_2S_1$ .

[edytuj] Wielomiany symetryczne a Wzory Viète'a

Jeżeli wielomian $\ a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\dots + a_1 x+ a_0$ (gdzie $\ a_n \ne 0$ ) ma $\ n$ pierwiastków $\ \xi_1,\dots,\xi_n$ , to zachodzą wzory Viète'a:

$\ S_1(\xi_1\dots,\xi_n) = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n}$

$\ S_2(\xi_1\dots,\xi_n)=\tfrac{a_{n-2}}{a_n}$

...

$\ S_n(\xi_1\dots,\xi_n)=(-1)^n \cdot \tfrac{a_0}{a_n}$

Uwaga Każdy wielomian stopnia n, nad ciałem k, ma n pierwiastków (niekoniecznie różnych) nad zamkniętym algebraicznie ciałem K, będącym rozszerzeniem ciała k (ale na ogół wielomian ten nie ma n pierwiastków nad samym ciałem k).

Ze wzorów Viète'a i podstawowego twierdzenia (patrz wyżej) natychmiast wynika niezwykle ważny wniosek:

Twierdzenie Niech $\ \xi_1,\dots,\xi_n\$ będą pierwiastkami wielomianu f, stopnia n, nad ciałem k (same pierwiastki należą do pewnego ciała, będącego rozszerzeniem ciała k). Niech F będzie wielomianem symetrycznym stopnia n, nad tym samym ciałem k (może być nad mniejszym). Wtedy

$F(\xi_1,\dots,\xi_n) \in k\$

[edytuj] Linki zewnętrzne

Wielomiany symetryczne Rozdział IX monografii Zasady algebry wyższej autorstwa Wacława Sierpińskiego.

Kategoria: Wielomiany

We provide Linux to the World

Wielomian symetryczny

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Definicja intuicyjna

[edytuj] Przykłady wielomianów symetrycznych

[edytuj] Przykłady wielomianów, które nie są symetryczne

[edytuj] Elementarne wielomiany symetryczne i twierdzenie podstawowe

[edytuj] Wielomiany symetryczne a Wzory Viète'a

[edytuj] Linki zewnętrzne

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach