Wzory Viète'a

Z Wikipedii

Wzory Viète'a – wzory wiążące pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami. Ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète'a.

Spis treści

1 Wzory Viète'a
2 Trójmian kwadratowy
3 Dowód
- 3.1 Przypadek funkcji kwadratowej
- 3.2 Przypadek ogólny
4 Zobacz też
5 Linki zewnętrzne

[edytuj] Wzory Viète'a

Niech $x_1, x_2, \dots, x_n$ będą pierwiastkami wielomianu $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0,\; a_n\neq 0$ o współczynnikach zespolonych. Wówczas prawdziwe są wzory

$\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = \tfrac{-a_{n-1}}{a_n} \\ x_1 x_2 + \dots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \dots + x_2 x_n + \dots + x_{n-1} x_n = \tfrac{a_{n-2}}{a_n} \\ \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n} \end{cases}$

nazywane wzorami Viète'a.

Powyższe wzory są prawdziwe również dla wielomianów w dowolnym pierścieniu przemiennym, przy założeniu, że wielomian ten ma w nim $n$ pierwiastków.

[edytuj] Trójmian kwadratowy

W przypadku trójmianu kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych $ax^2 + bx + c,\; a\neq 0$ wzory te przyjmują postać:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -\tfrac{b}{a} \\ x_1 x_2 = \tfrac{c}{a} \end{cases}$ .

Wzory te są prawdziwe również, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego $Δ < 0$ przy założeniu, że interesują nas zespolone pierwiastki trójmianu.

[edytuj] Dowód

[edytuj] Przypadek funkcji kwadratowej

Niech $x 1, x 2$ będą miejscami zerowymi funkcji kwadratowej $a x 2 + b x + c$ . Wówczas

a (x - x 1)(x - x 2) = a x 2 + b x + c

a (x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2) = a x 2 + b x + c

- a (x 1 + x 2) x + a x 1 x 2 = b x + c

Ponieważ dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy przy odpowiednich potęgach mają równe współczynniki, mamy:

$\begin{cases} -a(x_1 + x_2) = b \\ a x_1 x_2 = c \end{cases}$

a stąd wzory wspomniane wyżej.

[edytuj] Przypadek ogólny

Aby udowodnić wzory Viète'a, piszemy równość

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\dots + a_1 x+ a_0 = a_n(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$

(która jest prawdziwa, gdyż $x_1, x_2, \dots, x_n$ są wszystkimi pierwiastkami wielomianu), dokonujemy mnożenia po prawej stronie i przyrównujemy współczynniki. Otrzymujemy

$\begin{cases} a_{n} (x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n) = -a_{n-1} \\ a_{n} (x_1 x_2 + \dots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \dots + x_2 x_n + \dots + x_{n-1} x_n) = a_{n-2} \\ \vdots \\ a_n x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n a_0 \end{cases}$